Parametrize a superfície S dada.
S : o cilindro elíptico x^2+y^2 / 4=1 abaixo do plano z=4 e acima do plano z=0. Resp.: r(theta, z)= (cos theta, 2 sin theta, z), 0 <= theta<2 pi, 0 <= z <= 4.

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para parametrizar a superfície S de um cilindro elíptico definido pela equação x^21 + y^24 = 1 , que está abaixo do plano z = 4 e acima do plano z = 0 . A matéria que vamos usar aqui é de parametrização de superfícies, onde a gente precisa expressar as coordenadas x , y e z em função de alguns parâmetros, geralmente angulares e lineares, para descrever toda a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um cilindro elíptico. Diferente do cilindro circular, onde a seção transversal é um círculo, aqui a seção é uma elipse. A equação geral do cilindro elíptico é x^2a^2 + y^2b^2 = 1 , onde a e b são os semi-eixos da elipse.
No nosso caso, a equação é x^2 + y^24 = 1 . Comparando com a forma geral, temos a = 1 e b = 2 .

Passo 3

Para parametrizar a superfície, geralmente usamos coordenadas angulares para varrer a elipse e uma coordenada linear para a altura z . Aqui, vamos usar um parâmetro theta para o ângulo e z para a altura.
A parametrização básica para uma elipse é:
x = a cos theta
y = b sin theta
Onde theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a elipse.

Passo 4

Como o cilindro se estende verticalmente entre z = 0 e z = 4 , o parâmetro z vai variar dentro desse intervalo. Assim, nossa parametrização completa fica:
r(theta, z) = (a cos theta, b sin theta, z)
Substituindo a = 1 e b = 2 , temos:
r(theta, z) = (cos theta, 2 sin theta, z)

Passo 5

Agora, é importante definir os intervalos dos parâmetros. O ângulo theta precisa variar de 0 a 2pi para cobrir toda a elipse, e z varia de 0 a 4 para abranger toda a altura do cilindro dentro dos planos dados.

Resposta

A parametrização da superfície S é:
r(theta, z) = (cos theta, 2 sin theta, z), 0 <= theta < 2pi, 0 <= z <= 4

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