Parametrize a superfície
dada.
: o cilindro elíptico
abaixo do plano
e acima do plano
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para parametrizar a superfície
de um cilindro elíptico definido pela equação
, que está abaixo do plano
e acima do plano
. A matéria que vamos usar aqui é de parametrização de superfícies, onde a gente precisa expressar as coordenadas
,
e
em função de alguns parâmetros, geralmente angulares e lineares, para descrever toda a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cilindro elíptico. Diferente do cilindro circular, onde a seção transversal é um círculo, aqui a seção é uma elipse. A equação geral do cilindro elíptico é
, onde
e
são os semi-eixos da elipse.
No nosso caso, a equação é
. Comparando com a forma geral, temos
e
.
Passo 3
Para parametrizar a superfície, geralmente usamos coordenadas angulares para varrer a elipse e uma coordenada linear para a altura
. Aqui, vamos usar um parâmetro
para o ângulo e
para a altura.
A parametrização básica para uma elipse é:
Onde
varia de
a
para cobrir toda a elipse.
Passo 4
Como o cilindro se estende verticalmente entre
e
, o parâmetro
vai variar dentro desse intervalo. Assim, nossa parametrização completa fica:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, é importante definir os intervalos dos parâmetros. O ângulo
precisa variar de
a
para cobrir toda a elipse, e
varia de
a
para abranger toda a altura do cilindro dentro dos planos dados.
Resposta
A parametrização da superfície
é: