Suponha f(x, y) seja uma função de classe C^2 em algum aberto U subset R^2 e (x0, y0) um ponto crítico de f satisfazendo que nabla f(x0, y0)=(0,0). Mostre que
Se H(x0, y0)=0 o teste é inconclusivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função f(x, y) que é duas vezes continuamente diferenciável em um conjunto aberto U no plano. Temos um ponto crítico (x0, y0) , ou seja, onde as derivadas parciais de f são zero: nabla f(x0, y0) = (0, 0) . Nosso objetivo é mostrar que, se o determinante da Hessiana H(x0, y0) = 0 , o teste da segunda derivada não é conclusivo para determinar a natureza desse ponto crítico.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. O que é um ponto crítico.
  2. Como funciona o teste da segunda derivada usando a Hessiana.
  3. Por que, quando H = 0 , o teste não dá uma resposta clara.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ponto crítico. Um ponto (x0, y0) é crítico de uma função f(x, y) se as derivadas parciais em relação a x e y são zero nesse ponto:
nabla f(x0, y0) = ( partial fpartial x(x0, y0), partial fpartial y(x0, y0) ) = (0, 0)
Isso significa que, naquele ponto, não há inclinação na direção de x nem na direção de y .

Passo 3

Agora, vamos ao teste da segunda derivada. Para classificar o ponto crítico, calculamos a Hessiana H , que é o determinante da matriz das segundas derivadas parciais:
H = partial^2 fpartial x^2 cdot partial^2 fpartial y^2 - ( partial^2 fpartial x partial y )^2
Dependendo do valor de H e das segundas derivadas, podemos determinar se o ponto é um mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
  • Se H > 0 e partial^2 fpartial x^2 > 0 , então (x0, y0) é um mínimo local.
  • Se H > 0 e partial^2 fpartial x^2 < 0 , então é um máximo local.
  • Se H < 0 , então é um ponto de sela.

Passo 4

Mas e se H = 0 ? Nesse caso, o teste da segunda derivada não consegue nos dar uma informação clara sobre a natureza do ponto crítico. Isso acontece porque o valor zero não confirma nem a concavidade nem a convexidade da função naquele ponto, deixando a classificação indecidida pelo teste.

Resposta

Portanto, se H(x0, y0) = 0 , o teste da segunda derivada não é suficiente para determinar se o ponto crítico (x0, y0) é um mínimo, máximo ou ponto de sela. O teste é inconclusivo nesse caso.

Exercícios relacionados