Suponha
seja uma função de classe
em algum aberto
e
um ponto crítico de
satisfazendo que
. Mostre que
Se
o teste é inconclusivo.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
que é duas vezes continuamente diferenciável em um conjunto aberto
no plano. Temos um ponto crítico
, ou seja, onde as derivadas parciais de
são zero:
. Nosso objetivo é mostrar que, se o determinante da Hessiana
, o teste da segunda derivada não é conclusivo para determinar a natureza desse ponto crítico.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- O que é um ponto crítico.
- Como funciona o teste da segunda derivada usando a Hessiana.
- Por que, quando
, o teste não dá uma resposta clara.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre ponto crítico. Um ponto
é crítico de uma função
se as derivadas parciais em relação a
e
são zero nesse ponto:
Isso significa que, naquele ponto, não há inclinação na direção de
nem na direção de
.
Passo 3
Agora, vamos ao teste da segunda derivada. Para classificar o ponto crítico, calculamos a Hessiana
, que é o determinante da matriz das segundas derivadas parciais:
Dependendo do valor de
e das segundas derivadas, podemos determinar se o ponto é um mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
- Se
e , então é um mínimo local. - Se
e , então é um máximo local. - Se
, então é um ponto de sela.
Passo 4
Mas e se
? Nesse caso, o teste da segunda derivada não consegue nos dar uma informação clara sobre a natureza do ponto crítico. Isso acontece porque o valor zero não confirma nem a concavidade nem a convexidade da função naquele ponto, deixando a classificação indecidida pelo teste.
Resposta
Portanto, se
, o teste da segunda derivada não é suficiente para determinar se o ponto crítico
é um mínimo, máximo ou ponto de sela. O teste é inconclusivo nesse caso.