Suponha f(x, y) seja uma função de classe C^2 em algum aberto U subset R^2 e (x0, y0) um ponto crítico de f satisfazendo que nabla f(x0, y0)=(0,0). Mostre que
Se H(x0, y0)>0 e partial^2 fpartial x^2(x0, y0)>0 então f tem um valor mínimo relativo em (x0, y0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se uma função f(x, y) tem um ponto crítico (x0, y0) onde o gradiente é zero, e se a determinante da Hessiana H(x0, y0) > 0 e a segunda derivada parcial em relação a x é positiva, então f tem um valor mínimo relativo nesse ponto. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é um ponto crítico. Um ponto (x0, y0) é crítico se o gradiente da função nabla f(x0, y0) = (0, 0) . Isso significa que as derivadas parciais em relação a x e y são zero nesse ponto.

Passo 3

Agora, para classificar esse ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz formada pelas segundas derivadas parciais de f . A determinante da Hessiana, H(x0, y0) , nos ajuda a determinar se o ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 4

No caso dado, temos que H(x0, y0) > 0 . Isso significa que a matriz Hessiana é definida positiva ou definida negativa. Para saber qual é o caso, olhamos para a segunda derivada parcial em relação a x , que é partial^2 fpartial x^2(x0, y0) .

Passo 5

Como partial^2 fpartial x^2(x0, y0) > 0 , isso indica que a matriz Hessiana é definida positiva. Quando a Hessiana é definida positiva em um ponto crítico, significa que a função f tem um mínimo relativo nesse ponto.

Resposta

Portanto, concluímos que se H(x0, y0) > 0 e partial^2 fpartial x^2(x0, y0) > 0 , então a função f possui um valor mínimo relativo no ponto (x0, y0) .

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