Suponha
seja uma função de classe
em algum aberto
e
um ponto crítico de
satisfazendo que
. Mostre que
Se
e
então
tem um valor mínimo relativo em
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se uma função
tem um ponto crítico
onde o gradiente é zero, e se a determinante da Hessiana
e a segunda derivada parcial em relação a
é positiva, então
tem um valor mínimo relativo nesse ponto. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é um ponto crítico. Um ponto
é crítico se o gradiente da função
. Isso significa que as derivadas parciais em relação a
e
são zero nesse ponto.
Passo 3
Agora, para classificar esse ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz formada pelas segundas derivadas parciais de
. A determinante da Hessiana,
, nos ajuda a determinar se o ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 4
No caso dado, temos que
. Isso significa que a matriz Hessiana é definida positiva ou definida negativa. Para saber qual é o caso, olhamos para a segunda derivada parcial em relação a
, que é
.
Passo 5
Como
, isso indica que a matriz Hessiana é definida positiva. Quando a Hessiana é definida positiva em um ponto crítico, significa que a função
tem um mínimo relativo nesse ponto.
Resposta
Portanto, concluímos que se
e
, então a função
possui um valor mínimo relativo no ponto
.