Sobre uma elipse
, sabe-se que:
- o centro está na posição
;
- os eixos de simetria de
são paralelos aos eixos coordenados;
-
é tangente aos eixos coordenados.
Complete:
Considere
sendo o foco de
que está mais próximo da origem. Então:
(a)
(
,
)
(b) A excentricidade de
é igual a
(c) Se
é uma equação para
, então:
Considere
(a)
(b) A excentricidade de
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá uma elipse
de centro
, eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados, e tangente às retas
e
. Para resolver precisamos escrever a forma canônica
com
, achar os semi-eixos
, o valor de
para os focos, a excentricidade
e, por fim, expandir para a forma geral
Passo 2
Para que a elipse seja tangente à reta
, a distância do centro
a
(que é
) deve ser igual ao semi-eixo horizontal. Logo
Análogo, a tangência a
pede que o semi-eixo vertical seja a distância
, isto é
Passo 3
Assim a forma canônica fica
Passo 4
Como
, os focos estão ao longo da reta vertical
, em
isto é nas coordenadas
Passo 5
Compara-se a distância de cada foco à origem: claramente
fica bem mais próximo de
do que
. Portanto o foco pedido é
Passo 6
A excentricidade vale
Passo 7
Para obter a forma geral, multiplica-se a canônica por
:
Expandindo:
Dividindo por
para ter coeficiente unitário em
:
Comparando com
, vem
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)