Sobre uma elipse \mathcal{E}, sabe-se que:
  • o centro está na posição (-1,6);
  • os eixos de simetria de \mathcal{E} são paralelos aos eixos coordenados;
  • \mathcal{E} é tangente aos eixos coordenados.
Complete:
Considere F sendo o foco de \mathcal{E} que está mais próximo da origem. Então:
(a) F= ( \square , \square )
(b) A excentricidade de \mathcal{E} é igual a \square
(c) Se x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0 é uma equação para \mathcal{E}, então: C=
\square
D=\square, \text { e } \quad F=\square

Passo 1

O enunciado dá uma elipse \mathcal{E} de centro (-1,6), eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados, e tangente às retas x=0 e y=0. Para resolver precisamos escrever a forma canônica
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1
com (h,k)=(-1,6), achar os semi-eixos a,b, o valor de c para os focos, a excentricidade e=c/\max\{a,b\} e, por fim, expandir para a forma geral
x^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Passo 2

Para que a elipse seja tangente à reta x=0, a distância do centro (-1,6) a x=0 (que é \lvert -1\rvert=1) deve ser igual ao semi-eixo horizontal. Logo a=1. Análogo, a tangência a y=0 pede que o semi-eixo vertical seja a distância \lvert6\rvert=6, isto é b=6.

Passo 3

Assim a forma canônica fica
\frac{(x+1)^2}{1^2}+\frac{(y-6)^2}{6^2}=1.

Passo 4

Como b>a, os focos estão ao longo da reta vertical x=-1, em
c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{36-1}=\sqrt{35},
isto é nas coordenadas
(-1,\,6\pm\sqrt{35}).

Passo 5

Compara-se a distância de cada foco à origem: claramente (-1,6-\sqrt{35}) fica bem mais próximo de (0,0) do que (-1,6+\sqrt{35}). Portanto o foco pedido é
F=\bigl(-1,\;6-\sqrt{35}\bigr).

Passo 6

A excentricidade vale
e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{35}}{6}.

Passo 7

Para obter a forma geral, multiplica-se a canônica por 36:
36(x+1)^2+(y-6)^2=36.
Expandindo:
36x^2+72x+36 + y^2-12y+36 -36 =0
36x^2 + y^2 +72x -12y +36=0.
Dividindo por 36 para ter coeficiente unitário em x^2:
x^2 + \tfrac{1}{36}y^2 +2x -\tfrac{1}{3}y +1 =0.
Comparando com x^2 +Bxy +Cy^2 +Dx +Ey +F=0, vem
C=\frac{1}{36},\quad D=2,\quad F=1.

Resposta

(a) F=\bigl(-1,\,6-\sqrt{35}\bigr)
(b) e=\frac{\sqrt{35}}{6}
(c) C=\frac{1}{36},\;D=2,\;F=1

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