Escreva o vetor W=(2,3,1) como a soma W=U+V, sabendo que o vetor U possui a direção do vetor S=(-3,-1,0) e o vetor V é ortogonal ao vetor S=(-3,-1,0)

Passo 1

O enunciado pede decompor o vetor W=(2,3,1) na soma
W = U + V
onde U é paralelo ao vetor S=(-3,-1,0) e V é ortogonal a S. O conteúdo aqui é projeção de vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para obter U, calculamos a projeção de W sobre S usando
U = \frac{W\cdot S}{S\cdot S}\,S.
Primeiro,
W\cdot S = 2\cdot(-3) + 3\cdot(-1) + 1\cdot 0 = -6 - 3 = -9,
S\cdot S = (-3)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 9 + 1 = 10.
Logo,
U = \frac{-9}{10}\,(-3,-1,0) = \bigl(27/10,\;9/10,\;0\bigr).

Passo 3

Agora calculamos V = W - U:
V = (2,3,1) - \bigl(27/10,\;9/10,\;0\bigr) = \Bigl(2 - \tfrac{27}{10},\;3 - \tfrac{9}{10},\;1 - 0\Bigr) = \bigl(-7/10,\;21/10,\;1\bigr).
Para verificar ortogonalidade, note que
V\cdot S = (-7/10)(-3) + (21/10)(-1) + 1\cdot 0 = 21/10 - 21/10 = 0,
confirmando que V é ortogonal a S.

Resposta

U = \bigl(27/10,\;9/10,\;0\bigr)
V = \bigl(-7/10,\;21/10,\;1\bigr)

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