Nos Exercícios 11 a 14, determine o(s) valor(es) de h que torna os vetores linearmente dependentes. Justifique cada resposta.
\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -6 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-6 \\\\ 4 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}9 \\\ h \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}3\\\ -6\\\ 1\end{pmatrix},\;v_{2}=\begin{pmatrix}-6\\\ 4\\\ -3\end{pmatrix},\;v_{3}=\begin{pmatrix}9\h\\\ 3\end{pmatrix},
e pede os valores de h que tornam esses vetores linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o critério de que três vetores em \mathbb{R}^3 são dependentes se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como colunas é zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
A = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 9\\\\ -6 & 4 & h\\\\ 1 & -3 & 3 \end{pmatrix}
e calculamos \det(A).

Passo 3

Expansão pelo primeiro da primeira linha:
\det(A) =3\det\!\begin{pmatrix}4 & h\\\ -3 & 3\end{pmatrix} -(-6)\det\!\begin{pmatrix}-6 & h\\\ 1 & 3\end{pmatrix} +9\det\!\begin{pmatrix}-6 & 4\\\ 1 & -3\end{pmatrix}.
Agora, os menores:
\det\!\begin{pmatrix}4 & h\\\ -3 & 3\end{pmatrix} =4\cdot3-(-3)\,h=12+3h,
\det\!\begin{pmatrix}-6 & h\\\ 1 & 3\end{pmatrix} =-6\cdot3-1\cdot h=-18-h,
\det\!\begin{pmatrix}-6 & 4\\\ 1 & -3\end{pmatrix} =(-6)(-3)-1\cdot4=18-4=14.
Substituindo:
\det(A)=3(12+3h)+6(-18-h)+9\cdot14 =(36+9h)-108-6h+126=54+3h.

Passo 4

Para dependência linear, exige-se \det(A)=0. Assim,
54+3h=0 \quad\Longrightarrow\quad 3h=-54 \quad\Longrightarrow\quad h=-18.

Resposta

h=-18

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