Nos Exercícios 11 a 14, determine o(s) valor(es) de h que torna os vetores linearmente dependentes. Justifique cada resposta.
\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 5 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -9 \\\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\ h \\\\ -9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 5\\\ -3\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-2\\\ -9\\\ 6\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}3\h\\\ -9\end{pmatrix}
e pede os valores de h que tornam esses vetores linearmente dependentes. O critério em \mathbb{R}^3 é: três vetores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como colunas for zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 5 & -9 & h\\\\ -3 & 6 & -9 \end{pmatrix}.
Calculamos \det(A) e impomos \det(A)=0.

Passo 3

Vamos ao cálculo:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-9 & h\\\ 6 & -9\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}5 & h\\\ -3 & -9\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}5 & -9\\\ -3 & 6\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}-9 & h\\\ 6 & -9\end{pmatrix} =81-6h, \quad \det\begin{pmatrix}5 & h\\\ -3 & -9\end{pmatrix} =-45+3h, \quad \det\begin{pmatrix}5 & -9\\\ -3 & 6\end{pmatrix} =30-27=3.
Substituindo:
\det(A) =(81-6h) +2(-45+3h) +3\cdot3 =81-6h-90+6h+9 =0.

Passo 4

O determinante saiu 0 independentemente de h. Logo, para todo h\in\mathbb{R} a matriz A tem determinante nulo e os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes para todo h\in\mathbb{R}.

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