Suponha que você saiba que a série
converge para
. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
Passo 1
O enunciado diz que a série de potências
converge para
. Isso significa que seu raio de convergência é
. Vamos analisar a série
e determinar onde ela converge e qual é seu raio de convergência.
Passo 2
Perceba que
é exatamente a primitiva termo a termo de
pois
Como podemos integrar term a term dentro do intervalo de convergência, a nova série define uma função analítica em
e converge, pelo menos, para
.
Passo 3
Para confirmar que o raio de convergência continua sendo
, aplicamos o teste da raiz de Cauchy–Hadamard. Sejam os coeficientes
de modo que nossa série fica
. O raio
satisfaz
Passo 4
Como
limsupmtoinfty|bm-1|^1/m = limsupntoinfty|bn|^1/n= tfrac12 (pois o raio original era
2 ), e
limmtoinftym^1/m=1 , obtemos
Logo,
Passo 5
Concluímos, portanto, que a série
também converge para
|x|<2 e tem raio de convergência
R=2 . Ademais, ela representa a primitiva da série original.
Resposta
A série
sumn=0^inftybnn+1,x^n+1 converge para
|x|<2 e seu raio de convergência é
2 .