Suponha que você saiba que a série sumn=0^infty bx x^n converge para |x|<2. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
sumn=0^infty bnn+1 x^n+1

Passo 1

O enunciado diz que a série de potências
sumn=0^infty bn x^n
converge para |x|<2. Isso significa que seu raio de convergência é R=2. Vamos analisar a série
sumn=0^infty bnn+1,x^n+1
e determinar onde ela converge e qual é seu raio de convergência.

Passo 2

Perceba que
sumn=0^infty bnn+1,x^n+1
é exatamente a primitiva termo a termo de
sumn=0^infty bn x^n,
pois
ddxl(bnn+1,x^n+1r) = bn,x^n
Como podemos integrar term a term dentro do intervalo de convergência, a nova série define uma função analítica em |x|<2 e converge, pelo menos, para |x|<2.

Passo 3

Para confirmar que o raio de convergência continua sendo 2, aplicamos o teste da raiz de Cauchy–Hadamard. Sejam os coeficientes
am = bm-1m para;m>=1,
de modo que nossa série fica summ=1^inftyam,x^m. O raio R' satisfaz
1R' = limsupmtoinfty l|amr|^1/m =limsupmtoinftyl|bm-1mr|^1/m

Passo 4

Como limsupmtoinfty|bm-1|^1/m = limsupntoinfty|bn|^1/n= tfrac12 (pois o raio original era 2), e limmtoinftym^1/m=1, obtemos
limsupmtoinftyl|bm-1mr|^1/m =12cdot1 =12
Logo,
1R' = 12 Longrightarrow R' = 2

Passo 5

Concluímos, portanto, que a série
sumn=0^infty bnn+1,x^n+1
também converge para |x|<2 e tem raio de convergência R=2. Ademais, ela representa a primitiva da série original.

Resposta

A série sumn=0^inftybnn+1,x^n+1 converge para |x|<2 e seu raio de convergência é 2.

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