Verifique se o polinômio g(X)=X^3+3 X^2+5 X+5 in Z7[X] possui uma raiz dupla.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio em Z7[X]
g(X)=X^3+3X^2+5X+5
possui alguma raiz dupla.
Conteúdo: polinômios sobre corpo finito e teste de raízes múltiplas via derivada.

Passo 2

Vamos calcular a derivada formal de g(X). Lembrando que em característicos diferentes de zero vale a regra usual:
g'(X)=ddXl(X^3r)+ddXl(3X^2r)+ddXl(5Xr)+0
Isso dá
g'(X)=3X^2+6X+5em Z7

Passo 3

Para simplificar, note que 6equiv -1pmod7, logo
g'(X)=3X^2- X+5
Como 3 é invertível em Z7 ( 3^-1=5), podemos estudar as raízes de
X^2- Xcdot3^-1+5cdot3^-1=X^2+2X+4=0

Passo 4

Resolvendo X^2+2X+4=0 em Z7: discriminante
De
Como 2 é quadrado em Z7 ( 3^2=4^2=2), as soluções são
X=-2pmraiz22=-2pm32equiv1,4

Passo 5

Precisamos ver quais dessas raízes de g' também anulam g.
Testando X=1:
g(1)=1+3+5+5=14equiv0pmod7
Testando X=4:
g(4)=4^3+3cdot4^2+5cdot4+5=1+6+6+5=18equiv4neq0
Logo apenas X=1 é raiz comum de g e g', caracterizando-a como raiz dupla.

Passo 6

Concluímos que g(X) tem exatamente uma raiz dupla em Z7, que é 1.

Resposta

O polinômio possui raiz dupla em 1 em Z7.

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