Verifique se o polinômio
possui uma raiz dupla.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinômio em
possui alguma raiz dupla.
Conteúdo: polinômios sobre corpo finito e teste de raízes múltiplas via derivada.
Passo 2
Vamos calcular a derivada formal de
. Lembrando que em característicos diferentes de zero vale a regra usual:
Isso dá
Passo 3
Para simplificar, note que
, logo
Como
Passo 4
Resolvendo
em
: discriminante
Como
Passo 5
Precisamos ver quais dessas raízes de
também anulam
.
Testando :
Testando
Testando
Logo apenas
é raiz comum de
e
, caracterizando-a como raiz dupla.
Passo 6
Concluímos que
tem exatamente uma raiz dupla em
, que é
.
Resposta
O polinômio possui raiz dupla em
em
.