Escrevas as equações na forma padrão, classifique as superfícies e esboce-as.
x^{2}+y^{2}-2 x-6 y-z+10=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície pela equação
x^{2}+y^{2}-2x-6y-z+10=0.
O que é pedido:
  • Escrever a equação na forma padrão (ou canônica).
  • Classificar a superfície (que tipo de superfície do espaço é).
  • Esboçar (instruções para desenhar) a superfície.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve x, y e z de forma quadrática em x e y e linear em z.
  • Não há outras restrições numéricas além da própria equação.

Passo 2

Primeiro passo técnico: completar quadrados nas variáveis x e y. Isso é um truque padrão para transformar expressões quadráticas em formas mais reconhecíveis.
Regra usada (com um exemplo): para qualquer x e coeficiente linear b,
x^{2}+bx = \bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2} - \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}.
Aplicando isso a x^{2}-2x: aqui b=-2, então
x^{2}-2x = \bigl(x-1\bigr)^{2}-1.
Faz o mesmo para y^{2}-6y: aqui b=-6, então
y^{2}-6y = \bigl(y-3\bigr)^{2}-9.

Passo 3

Substituímos as expressões completadas na equação original. Partimos de
x^{2}+y^{2}-2x-6y-z+10=0,
e usando os completamentos:
\bigl(x-1\bigr)^{2}-1 + \bigl(y-3\bigr)^{2}-9 - z + 10 = 0.
Agora somamos as constantes -1-9+10:
-1-9+10 = 0.
Logo a equação fica simplesmente
\bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2} - z = 0.
Rearranjando para isolar z:
z = \bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2}.

Passo 4

Interpretação da forma obtida. A forma
z = \bigl(x-h\bigr)^{2} + \bigl(y-k\bigr)^{2}
é a forma padrão de um paraboloide elíptico cujo vértice é (h,k,z_0) com z_0 sendo o valor mínimo de z. No nosso caso:
  • h=1, k=3 e z_0=0.
    Portanto o vértice é (1,3,0).
    Como os coeficientes das parcelas quadráticas em x e y são positivos e iguais a 1, o paraboloide é simétrico em torno do eixo vertical paralelo ao eixo z que passa por (1,3) no plano xy, e abre na direção positiva de z.

Passo 5

Características importantes para entender e desenhar:
  • Domínio (valores possíveis de x,y): todos os reais (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Contrapartida para z: como soma de quadrados, z\ge 0. Logo a superfície existe apenas para \;z\in[0,\infty).
  • Vértice: (1,3,0) é o ponto mais baixo da superfície.
  • Eixo da superfície: a reta paralela ao eixo z que passa por (1,3) no plano z=0. Em forma paramétrica da reta do eixo:
\bigl\{(x,y,z) = (1,3,t)\mid t\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 6

Traços (seções) que ajudam no esboço — explicar como obter e o que significam:
  • Traços horizontais (planos z=c, com c\ge 0):
c = \bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2}
Para cada c\ge 0 isso é a circunferência centrada em (1,3) com raio \sqrt{c}. Exemplos concretos:
\text{para } c=1:\quad (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=1 \text{ (círculo de raio }1).í
\text{para } c=4:\quad (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=4 \text{ (círculo de raio }2).í
  • Traços verticais em planos x=\text{constante}: fixando x=x_{0},
z = (x_{0}-1)^{2} + (y-3)^{2},
que é uma parábola em y\!-\!z com vértice em y=3,\;z=(x_{0}-1)^{2}.
  • Traços verticais em planos y=\text{constante}: fixando y=y_{0},
z = (y_{0}-3)^{2} + (x-1)^{2},
parábola em x\!-\!z com vértice em x=1,\;z=(y_{0}-3)^{2}.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (dicas práticas para fazer rápido na prova):
  1. Marcar o vértice no espaço: ponto (1,3,0) no plano z=0.
  2. Desenhar o eixo vertical que passa por esse ponto (reta paralela a z).
  3. Desenhar alguns círculos no plano z= constante centrados em (1,3): por exemplo círculos de raio 1 em z=1, raio 2 em z=4. Esses serão as “fatias” horizontais.
  4. Ligar suavemente as circunferências, formando a superfície que se abre para cima como um “bowl” (tigela) centrado em (1,3).
  5. Opcional: desenhar os traços parabólicos nos planos x=1 e y=3 para reforçar a forma (esses traços passam pelo vértice).

Passo 8

Resumo final da classificação com termos técnicos e dados úteis:
  • A equação na forma padrão é
z = \bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2}.
  • Tipo de superfície: paraboloide elíptico (ou elíptico paraboloidal) que abre para +\!z.
  • Vértice: (1,3,0).
  • Região de existência: z\ge 0.
  • Traços horizontais: círculos centrados em (1,3) com raio \sqrt{z}.

Resposta

z = \bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2}
Paraboloide elíptico com vértice em (1,3,0) que abre na direção positiva de z.

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