Escrevas as equações na forma padrão, classifique as superfícies e esboce-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície pela equação
O que é pedido:
- Escrever a equação na forma padrão (ou canônica).
- Classificar a superfície (que tipo de superfície do espaço é).
- Esboçar (instruções para desenhar) a superfície.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
, e de forma quadrática em e e linear em . - Não há outras restrições numéricas além da própria equação.
Passo 2
Primeiro passo técnico: completar quadrados nas variáveis
e
. Isso é um truque padrão para transformar expressões quadráticas em formas mais reconhecíveis.
Regra usada (com um exemplo): para qualquer
e coeficiente linear
,
Aplicando isso a
: aqui
, então
Faz o mesmo para
: aqui
, então
Passo 3
Substituímos as expressões completadas na equação original. Partimos de
e usando os completamentos:
Agora somamos as constantes
:
Logo a equação fica simplesmente
Rearranjando para isolar
:
Passo 4
Interpretação da forma obtida. A forma
é a forma padrão de um paraboloide elíptico cujo vértice é
com
sendo o valor mínimo de
. No nosso caso:
-
, e .
Portanto o vértice é.
Como os coeficientes das parcelas quadráticas eme são positivos e iguais a , o paraboloide é simétrico em torno do eixo vertical paralelo ao eixo que passa por no plano , e abre na direção positiva de .
Passo 5
Características importantes para entender e desenhar:
- Domínio (valores possíveis de
): todos os reais . - Contrapartida para
: como soma de quadrados, . Logo a superfície existe apenas para . - Vértice:
é o ponto mais baixo da superfície. - Eixo da superfície: a reta paralela ao eixo
que passa por no plano . Em forma paramétrica da reta do eixo:
Passo 6
Traços (seções) que ajudam no esboço — explicar como obter e o que significam:
- Traços horizontais (planos
, com ):
Para cada
isso é a circunferência centrada em
com raio
. Exemplos concretos:
- Traços verticais em planos
: fixando ,
que é uma parábola em
com vértice em
.
- Traços verticais em planos
: fixando ,
parábola em
com vértice em
.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (dicas práticas para fazer rápido na prova):
- Marcar o vértice no espaço: ponto
no plano . - Desenhar o eixo vertical que passa por esse ponto (reta paralela a
). - Desenhar alguns círculos no plano
constante centrados em : por exemplo círculos de raio em , raio em . Esses serão as “fatias” horizontais. - Ligar suavemente as circunferências, formando a superfície que se abre para cima como um “bowl” (tigela) centrado em
. - Opcional: desenhar os traços parabólicos nos planos
e para reforçar a forma (esses traços passam pelo vértice).
Passo 8
Resumo final da classificação com termos técnicos e dados úteis:
- A equação na forma padrão é
- Tipo de superfície: paraboloide elíptico (ou elíptico paraboloidal) que abre para
. - Vértice:
. - Região de existência:
. - Traços horizontais: círculos centrados em
com raio .
Resposta
Paraboloide elíptico com vértice em