Escrevas as equações na forma padrão, classifique as superfícies e esboce-as.
x^{2}-y^{2}+z^{2}-4 x-2 z=0
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Colocar a equação dada na forma padrão (forma canônica) de uma quádricas.
Classificar a superfície obtida (que tipo de quádricas é).
Esboçar a superfície (dar instruções/indicativos para desenhá-la).
Informações fornecidas:
A equação é x^{2}-y^{2}+z^{2}-4 x-2 z=0.
Passo 2
Primeiro passo técnico: completar quadrados nas variáveis que aparecem com termo linear (aqui x e z). Vou explicar como completar quadrado de maneira didática.
Regra do “completar quadrado”: para uma expressão do tipo u^{2}+2bu podemos reescrever como (u+b)^{2}-b^{2}. No caso de x^{2}-4x note que x^{2}-4x = x^{2}+2(-2)x, então b=-2 e
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Analogamente para z^{2}-2z (aqui b=-1):
z^{2}-2z=(z-1)^{2}-1.
Agora substituo essas expressões na equação original:
Aqui cada denominador positivo pode ser interpretado como o quadrado de um “raio” padrão: a^{2}=5, b^{2}=5, c^{2}=5 (apenas nomes para os comprimentos característicos).
Passo 4
Agora a classificação: vou explicar o critério de classificação de forma simples.
Critério prático (sem jargões): escrevendo a quádricas em forma
Se todos os termos têm o mesmo sinal (todos positivos) é um elipsoide.
Se dois termos têm o mesmo sinal e o terceiro tem sinal oposto (dois +, um −, ou dois −, um +) então é um hiperbolóide: se o lado direito é +1 e há exatamente um sinal negativo, é hiperbolóide de uma folha; se houver exatamente dois sinais negativos (ou seja, um positivo e dois negativos) é hiperbolóide de duas folhas.
Se há termos lineares sem quadrado combinado de forma diferente, etc., outras categorias aparecem (paraboloides), mas não é o caso aqui.
Na nossa forma temos dois termos positivos \dfrac{(x-2)^{2}}{5} e \dfrac{(z-1)^{2}}{5} e um termo negativo -\dfrac{y^{2}}{5}. Portanto há exatamente um sinal negativo e dois positivos — isso indica um hiperbolóide de uma folha.
Observação adicional: como os denominadores positivos dos termos em x e z são iguais (5 e 5), a superfície tem simetria de rotação ao redor do eixo correspondente à variável com sinal negativo (aqui o eixo paralelo ao eixo y). Em outras palavras, é um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo paralelo a y.
Passo 5
Identificação do centro e do eixo:
O “centro” da quádricas é o ponto que anula os termos lineares depois da mudança de variável introduzida por completar quadrado. Aqui o centro é
(2,\,0,\,1),
porque as substituições foram x-2 e z-1 e não houve deslocamento em y.
O eixo de simetria principal é paralelo ao eixo y (a variável com coeficiente negativo) e passa pelo centro (2,0,1). Então é a reta \{(2,t,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
temos a^{2}=5, b^{2}=5, c^{2}=5, logo a=b=c=\sqrt{5}. A igualdade a=b confirma a revolução circular.
Passo 6
Análise das secções (muito útil para esboçar; vou mostrar alguns cortes conhecidos):
Corte por y=0: substituindo y=0 dá
(x-2)^{2}+(z-1)^{2}=5,
uma circunferência de centro (2,1) no plano y=0 (ou seja, no plano paralelo a xz que contém y=0) com raio \sqrt{5}\approx 2,236. (Aqui anote: peguei a equação resultante do passo onde completei quadrados.)
Corte por y=k (constante): substituindo y=k dá
(x-2)^{2}+(z-1)^{2}=5+k^{2},
ou seja, para cada valor de y a interseção é uma circunferência centrada em (2,1) no plano y=k com raio \sqrt{5+k^{2}}. Isso mostra que o raio aumenta conforme |y| aumenta — típico de hiperbolóide de uma folha (aperta no meio em y=0 e alarga para |y| grandes).
Corte por x=2: substituindo x=2 dá
(z-1)^{2}-y^{2}=5,
que é uma hipérbole no plano x=2.
Corte por z=1: substituindo z=1 dá
(x-2)^{2}-y^{2}=5,
outra hipérbole no plano z=1.
Essas secções (círculos para planos y= const e hipérboles para planos x= const ou z= const) são as pistas principais para desenhar.
Passo 7
Como esboçar à mão — passo a passo prático (faça na prova sem calculadora):
Desenhe um sistema de eixos x,y,z. Marque o ponto central (2,0,1) — para facilitar, desenhe um pequeno quadrado/axonometria e localize esse centro deslocado de +2 em x e +1 em z.
No plano y=0 desenhe uma circunferência de raio \sqrt{5}\approx2{,}24 centrada em (2,1) (projeção no plano y=0 dá ponto (2,1) em coordenadas x-z). Essa é a “cintura” do hiperbolóide (menor seção circular).
Para y=\pm1 desenhe círculos maiores de raio \sqrt{6}\approx2{,}45; para y=\pm2 raio \sqrt{9}=3. Trace suavemente superfícies que passam por esses círculos, conectando-os formando uma superfície contínua com “uma folha” que passa pelo centro e se alarga para cima e para baixo ao longo de y.
Opcional: desenhe as hipérboles nos planos x=2 e z=1 para indicar a curvatura nas direções transversais.
Dica visual: por causa de a=b a seção transversal em qualquer plano y= const é um círculo — isso facilita o esboço: pense em uma “ampulheta” alargada mas sem separação — é o típico “colar” ou “cintura” do hiperbolóide de uma folha.
Passo 8
Uma parametrização simples (opcional, para entender melhor a forma) — mostro para quem quiser relacionar com trigonometria:
Hiperbolóide de uma folha (de revolução em torno do eixo paralelo a y), centro em (2,0,1), eixo de simetria a reta \{(2,t,1)\mid t\in\mathbb{R}\}, secções y= const são círculos de raio \sqrt{5+y^{2}}.