Exemplo 6 (RA2): Para verificar que a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=3 t+1 \\\ y=1-2 t \text { está contida no plano } \pi: x+2 y+z-3=0, \text { um } \\\ z=t\end{array}\right.á estudante resolveu da forma a seguir. Verifique se a resolução está correta, caso contrário, indique o(s) erro(s) e corrija-o(s):
Resolução: Para que a reta r esteja contida no plano \pi é necessário que o vetor diretor da reta seja ortogonal ao vetor normal do plano, além disso, qualquer ponto do plano deve pertencer a reta r.
Desta forma, a partir das equações, tem-se: \vec{v}_{r}=(3,-2,1) e \vec{n}_{\pi}=(1,2,1).
Primeiramente, aplicando a condição de ortogonalidade entre \vec{v}_{r} e \vec{n}_{\pi} tem-se:
\vec{v}_{r} \cdot \vec{n}_{\pi}=(3,-2,1) \cdot(1,2,1)=3-4+1=0, que demostra que a reta é paralela ao plano.
Em seguida, escolhe-se um ponto do plano, por exemplo A_{\pi}(1,1,0) e avalia se esse ponto pertence a reta:
r:\left\{\begin{array}{c} x=3 t+1=1 \\\ y=1-2 t=1 \\\ z=t=0 \end{array}\right.
Nesse caso, para t=0, o ponto A_{\pi}(1,1,0) pertence a reta.
Portanto, a reta r: \left\{\begin{array}{l}x=3 t+1 \\\ y=1-2 t \\\ z=t\end{array}\right. está contida no plano \pi: x+2 y+z-3=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (sem resolver ainda).
  • A reta r\) é dada parametricamente por \[r:\begin{cases} x=3t+1,\\[4pt] y=1-2t,\\[4pt] z=t, \end{cases}
onde (t\in\mathbb{R}].
  • O plano \pi é dado por
\pi: x+2y+z-3=0.
  • O enunciado pede que verifiquemos se a resolução apresentada pelo estudante está correta; se houver erros, devemos indicá-los e corrigi-los.
Passos que o estudante usou (resumidos): (i) extraiu o vetor diretor \vec{v}_r da reta e o vetor normal \vec{n}_\pi do plano; (ii) verificou \vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=0 e concluiu que a reta é paralela ao plano; (iii) escolheu o ponto A_\pi=(1,1,0) (que satisfaz a equação do plano) e mostrou que ele também pertence à reta para t=0; (iv) concluiu que a reta está contida no plano.]

Passo 2

Conceito necessário (explicado passo a passo, leve e sem pular etapas).
  • O vetor normal do plano \pi é o vetor cujas componentes são os coeficientes de x,y,z na equação do plano. Assim, para \pi: x+2y+z-3=0 temos
\vec{n}_\pi=(1,2,1).
Explanação: o plano escrito como \vec{n}_\pi\cdot(x,y,z)=3 tem \vec{n}_\pi com essas componentes.
  • O vetor diretor de uma reta escrita em forma paramétrica x=x_0+at,\; y=y_0+bt,\; z=z_0+ct é \vec{v}=(a,b,c). Aqui, da reta r tiramos
\vec{v}_r=(3,-2,1).
  • Condição para que uma reta esteja contida num plano:
    1. A direção da reta deve ser paralela ao plano. Em termos vetoriais, isso significa que \vec{v}_r deve ser ortogonal ao normal do plano: \vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=0.
    2. Basta que exista pelo menos um ponto da reta que pertença ao plano (ou seja, um dos pontos da reta satisfaça a equação do plano). Se (1) e (2) forem verdadeiros, então toda a reta está no plano.
  • Por que basta estas duas condições? Explicação breve e direta: se P_0 é um ponto da reta que está no plano e Q é ponto genérico da reta, então Q=P_0+t\vec{v}_r para algum t. Como \vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=0, temos \vec{n}_\pi\cdot Q=\vec{n}_\pi\cdot P_0 + t(\vec{n}_\pi\cdot\vec{v}_r)=\vec{n}_\pi\cdot P_0, portanto todos os pontos Q satisfazem a mesma equação do plano que P_0; assim toda a reta está no plano. (Essa conta é simples e importante para provar a afirmação.)

Passo 3

Verificação dos vetores e do produto escalar (faça isso devagar, como na prova).
  • Do enunciado extraímos os vetores (já vistos no passo anterior):
\vec{v}_r=(3,-2,1),\qquad \vec{n}_\pi=(1,2,1).
  • Calcular o produto escalar:
\vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=(3,-2,1)\cdot(1,2,1)=3+(-2)\cdot 2+1=3-4+1=0.
Interpretação: o produto escalar zero significa que \vec{v}_r é ortogonal a \vec{n}_\pi, isto é, a direção da reta é paralela ao plano. Essa afirmação do estudante está correta.

Passo 4

Verificação se existe um ponto da reta que pertence ao plano (faça como na prova: escolha um valor de t e teste).
  • Um ponto simples da reta é o obtido para t=0:
P(0)=(x,y,z)=(3\cdot 0+1,\;1-2\cdot 0,\;0)=(1,1,0).
  • Verificar se P(0) satisfaz a equação do plano:
x+2y+z-3 = 1 + 2\cdot 1 + 0 - 3 = 0.
Portanto P(0) pertence ao plano \pi.
Observação sobre a solução do estudante: ele escolheu o ponto A_\pi=(1,1,0) diretamente como “um ponto do plano” e mostrou que corresponde a t=0 na reta; isso é consistente. Mais direto (e geralmente recomendado na prova) é pegar um ponto da reta (por exemplo t=0) e testar se ele satisfaz a equação do plano. Ambas abordagens levariam ao mesmo check.

Passo 5

Conclusão lógica final (mostrando a conta que confirma que toda a reta fica no plano).
  • Já vimos que \vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=0 e que existe um ponto P(0) da reta que pertence ao plano. Pela propriedade explicada no Passo 2, isso implica que qualquer ponto da reta P(t)=P(0)+t\vec{v}_r satisfaz
\vec{n}_\pi\cdot P(t)=\vec{n}_\pi\cdot P(0)+t\,\vec{n}_\pi\cdot\vec{v}_r=3+t\cdot 0=3,
ou seja, todos os P(t) satisfazem a equação x+2y+z-3=0. Portanto a reta r está contida no plano \pi.

Passo 6

Indicar explicitamente os erros/imprecisões da solução do estudante e apresentar a correção (curto e objetivo, do jeito que o professor gosta).
  • Erro/ imprecisão do estudante: escreveu que "qualquer ponto do plano deve pertencer à reta r". Isso está errado como frase lógica: não é necessário (nem verdadeiro) que todo ponto do plano pertença à reta. A condição correta é que “existe pelo menos um ponto da reta que pertence ao plano” (ou, equivalentemente, que um ponto da reta satisfaça a equação do plano). Essa troca de quantificadores (“qualquer ponto do plano” em vez de “algum/um ponto da reta”) é um deslize lógico que merece correção.
  • O restante do raciocínio do estudante (extrair \vec{v}_r e \vec{n}_\pi, calcular \vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=0, escolher A=(1,1,0) e verificar que para t=0 ele pertence à reta) está correto e leva à conclusão correta.

Resposta

A resolução do estudante está essencialmente correta nos cálculos e na conclusão (a reta r está contida no plano \pi), porém contém uma imprecisão lógica: a frase correta é que basta existir um ponto da reta que pertença ao plano (não que “qualquer ponto do plano” pertença à reta). A correção é: \vec{v}_r=(3,-2,1), \vec{n}_\pi=(1,2,1), \vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=0 e o ponto P(0)=(1,1,0) da reta satisfaz x+2y+z-3=0; portanto r\subset\pi.

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