Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:
a) A\left(2,-\frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para converter a coordenada polar A\!\left(2,-\dfrac{\pi}{6}\right) para o sistema cartesiano.
Informações dadas:
  • raio: r=2 (a distância do ponto à origem);
  • ângulo: \theta=-\dfrac{\pi}{6} (medido em radianos, negativo indica sentido horário).
    O que se pede: encontrar as coordenadas cartesianas (x,y) correspondentes ao ponto A.

Passo 2

Fórmulas básicas de conversão (essas são as ferramentas que sempre se usam):
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Explicação curta: \cos\theta dá a projeção horizontal (no eixo x) de um ponto no círculo unitário e \sin\theta dá a projeção vertical (no eixo y); multiplicando por r escalamos da circunferência unitária para o raio desejado.

Passo 3

Vamos calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=-\dfrac{\pi}{6}. Usamos duas identidades úteis:
\cos(-\theta)=\cos\theta, \qquad \sin(-\theta)=-\sin\theta.
Sabemos também os valores no ângulo \dfrac{\pi}{6} (ângulo notório do círculo trigonométrico):
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
Aplicando as identidades:
\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas de conversão com r=2:
x = r\cos\theta = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},
y = r\sin\theta = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -1.
Mostrando a simplificação passo a passo: 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=(2/2)\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}; e 2\cdot(-\tfrac{1}{2})=-1.

Passo 5

Verificação rápida (dica para prova): calcule o raio a partir de (x,y) e o ângulo com arctan para confirmar.
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2=r,
e
\arctan\!\left(\frac{|y|}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6},
como y é negativo e x>0, o ângulo é -\dfrac{\pi}{6}, igual ao dado. Portanto a conversão está correta.

Resposta

A\!\left(\sqrt{3},-1\right)

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