Exemplo 6: Passar o ponto
do sistema cartesiano para o sistema esférico.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: transformar o ponto
do sistema cartesiano para coordenadas esféricas. - Dados:
, , .
Não há indicação explícita da convenção de coordenadas esféricas no enunciado, apenas o pedido de transformação do ponto.
Passo 2
Escolha da convenção e fórmulas que vou usar (explicando cada variável).
Vou usar a convenção habitual em muitas matérias de matemática (convenção “padrão de matemática”): as coordenadas esféricas serão onde
Vou usar a convenção habitual em muitas matérias de matemática (convenção “padrão de matemática”): as coordenadas esféricas serão
-
é a distância do ponto à origem (raio), com . -
é o ângulo polar (ou colatitude): o ângulo entre o vetor posição e o eixo , com . Quando o ponto está no plano , . -
é o ângulo azimutal no plano : o ângulo medido a partir do eixo positivo para o vetor projetado no plano , com normalmente em ou em dependendo da convenção.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas (com essa convenção) são:
E as fórmulas diretas para obter
a partir de
são:
Explicando
: é a função arco-tangente que retorna o ângulo correto considerando o sinal de
e
, assim determina o quadrante do ângulo azimutal. Se preferir
em
e
devolver um valor negativo, basta somar
.
Passo 3
Calcular
(distância ao origem).
Usando e pegando os valores do enunciado:
Usando
Interpretação prática: o ponto está a uma distância
da origem.
Passo 4
Calcular
(ângulo entre o vetor posição e o eixo
).
Usando . Aqui
e
, então
Usando
Interpretação:
significa que o ponto está no plano
(ângulo de 90 graus em relação ao eixo
) — o que era esperado pois
.
Passo 5
Calcular
(ângulo azimutal no plano
).
Primeiro observe e
. Então a projeção no plano
está no quarto quadrante (à direita e abaixo do eixo
). A razão é
Primeiro observe
O ângulo cujo tangente vale
e que corresponde a uma rotação de
abaixo do eixo
é
. Usando
para determinar o ângulo no quadrante correto:
Se for necessário expressar
no intervalo
, soma-se
:
Ambas as representações (
e
) descrevem o mesmo ângulo físico; escolha a que for exigida pelo enunciado (geralmente
leva a
).
Passo 6
Verificação rápida (reconstruir
a partir de
para conferir).
Usando ,
,
:
Usando
Então
Confere com o ponto original
. Boa!
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
- Calcule sempre
primeiro: é a raiz da soma dos quadrados. - Use
para evitar ambiguidades nos sinais. - Use
para (ou determine o quadrante explicitamente a partir dos sinais de e ). - Se precisar de
em e obtiver valor negativo, some .