Exemplo 6: Passar o ponto A(2,-2,0) do sistema cartesiano para o sistema esférico.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: transformar o ponto A(2,-2,0) do sistema cartesiano (x,y,z) para coordenadas esféricas.
  • Dados: x=2, y=-2, z=0.
    Não há indicação explícita da convenção de coordenadas esféricas no enunciado, apenas o pedido de transformação do ponto.

Passo 2

Escolha da convenção e fórmulas que vou usar (explicando cada variável).
Vou usar a convenção habitual em muitas matérias de matemática (convenção “padrão de matemática”): as coordenadas esféricas serão (\rho,\theta,\varphi) onde
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio), com \rho\ge 0.
  • \theta é o ângulo polar (ou colatitude): o ângulo entre o vetor posição e o eixo z, com 0\le\theta\le\pi. Quando o ponto está no plano xy, \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy: o ângulo medido a partir do eixo positivo x para o vetor projetado no plano xy, com \varphi normalmente em [0,2\pi) ou em (-\pi,\pi] dependendo da convenção.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas (com essa convenção) são:
x = \rho\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = \rho\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = \rho\cos\theta.
E as fórmulas diretas para obter \rho,\theta,\varphi a partir de x,y,z são:
\rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \qquad \theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right), \qquad \varphi = \operatorname{atan2}(y,x).
Explicando \operatorname{atan2}(y,x): é a função arco-tangente que retorna o ângulo correto considerando o sinal de x e y, assim determina o quadrante do ângulo azimutal. Se preferir \varphi em [0,2\pi) e \operatorname{atan2} devolver um valor negativo, basta somar 2\pi.

Passo 3

Calcular \rho (distância ao origem).
Usando \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e pegando os valores do enunciado:
\rho=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}=\sqrt{4+4+0}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Interpretação prática: o ponto está a uma distância 2\sqrt{2} da origem.

Passo 4

Calcular \theta (ângulo entre o vetor posição e o eixo z).
Usando \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Aqui z=0 e \rho=2\sqrt{2}, então
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{0}{2\sqrt{2}}\right)=\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}.
Interpretação: \theta=\tfrac{\pi}{2} significa que o ponto está no plano xy (ângulo de 90 graus em relação ao eixo z) — o que era esperado pois z=0.

Passo 5

Calcular \varphi (ângulo azimutal no plano xy).
Primeiro observe x=2>0 e y=-2<0. Então a projeção no plano xy está no quarto quadrante (à direita e abaixo do eixo x). A razão é
\frac{y}{x}=\frac{-2}{2}=-1.
O ângulo cujo tangente vale -1 e que corresponde a uma rotação de 45^\circ abaixo do eixo x é -\tfrac{\pi}{4}. Usando \operatorname{atan2} para determinar o ângulo no quadrante correto:
\varphi=\operatorname{atan2}(-2,2)=-\frac{\pi}{4}.
Se for necessário expressar \varphi no intervalo [0,2\pi), soma-se 2\pi:
\varphi = -\frac{\pi}{4}+2\pi = \frac{7\pi}{4}.
Ambas as representações ( -\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{7\pi}{4}) descrevem o mesmo ângulo físico; escolha a que for exigida pelo enunciado (geralmente \varphi\in[0,2\pi) leva a \tfrac{7\pi}{4}).

Passo 6

Verificação rápida (reconstruir x,y,z a partir de (\rho,\theta,\varphi) para conferir).
Usando \rho=2\sqrt{2}, \theta=\tfrac{\pi}{2}, \varphi=-\tfrac{\pi}{4}:
\rho\sin\theta = 2\sqrt{2}\cdot\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\sqrt{2}\cdot 1=2\sqrt{2}.
Então
x=\rho\sin\theta\cos\varphi = 2\sqrt{2}\cdot\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) =2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2,
y=\rho\sin\theta\sin\varphi = 2\sqrt{2}\cdot\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) =2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2,
z=\rho\cos\theta = 2\sqrt{2}\cdot\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\sqrt{2}\cdot 0=0.
Confere com o ponto original A(2,-2,0). Boa!

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
  • Calcule sempre \rho primeiro: é a raiz da soma dos quadrados.
  • Use \theta=\operatorname{arccos}(z/\rho) para evitar ambiguidades nos sinais.
  • Use \operatorname{atan2}(y,x) para \varphi (ou determine o quadrante explicitamente a partir dos sinais de x e y).
  • Se precisar de \varphi em [0,2\pi) e obtiver valor negativo, some 2\pi.

Resposta

(\rho,\theta,\varphi)=\bigl(2\sqrt{2},\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{4}\bigr)
(\rho,\theta,\varphi)=\bigl(2\sqrt{2},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{7\pi}{4}\bigr)

Exercícios relacionados