(ITA, modificada) Sejam
e
matrizes de ordem
, e
uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
(i)
é simétrica.
(ii)
é simétrica.
(iii)
é simétrica.
temos que:
a) apenas (
) é verdadeira.
d) apenas (iii) é verdadeira.
b) apenas (ii) é verdadeira.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
c) apenas (i) e (iii) são verdadeiras.
f) todas as afirmações são falsas.
(i)
(ii)
(iii)
temos que:
a) apenas (
d) apenas (iii) é verdadeira.
b) apenas (ii) é verdadeira.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
c) apenas (i) e (iii) são verdadeiras.
f) todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes
e que
é simétrica (
). Precisamos verificar se cada uma das três expressões abaixo é simétrica, ou seja, se é igual à sua própria transposta:
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 2
Vamos testar (i). Tome
Então
Como
, isso dá
Mas a soma de matrizes é comutativa, logo
Portanto
e (i) é verdadeira.
Passo 3
Agora (ii). Seja
Então
Como soma é comutativa e
, obtemos
Logo (ii) também é verdadeira.
Passo 4
Para (iii), defina
Então
usando
e
. Assim (iii) é verdadeira.
Passo 5
Concluímos que todas as três expressões são iguais às suas transpostas.
Resposta
e) todas as afirmações são verdadeiras.