(ITA, modificada) Sejam A e B matrizes de ordem n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
(i) A B+B A^t é simétrica.
(ii) A+A^t+B é simétrica.
(iii) A B A^t é simétrica.
temos que:
a) apenas ( i ) é verdadeira.
d) apenas (iii) é verdadeira.
b) apenas (ii) é verdadeira.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
c) apenas (i) e (iii) são verdadeiras.
f) todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes ntimes n e que B é simétrica ( B^t=B). Precisamos verificar se cada uma das três expressões abaixo é simétrica, ou seja, se é igual à sua própria transposta:
(i) AB + BA^t
(ii) A + A^t + B
(iii) A,B,A^t

Passo 2

Vamos testar (i). Tome
M = AB + BA^t
Então
M^t = (AB)^t + (BA^t)^t = B^t A^t + A,B^t
Como B^t = B, isso dá
M^t = B,A^t + A,B
Mas a soma de matrizes é comutativa, logo
B,A^t + A,B = A,B + B,A^t = M
Portanto M^t = M e (i) é verdadeira.

Passo 3

Agora (ii). Seja
N = A + A^t + B
Então
N^t = A^t + (A^t)^t + B^t = A^t + A + B
Como soma é comutativa e B^t=B, obtemos
N^t = A + A^t + B = N
Logo (ii) também é verdadeira.

Passo 4

Para (iii), defina
P = A,B,A^t
Então
P^t = (A,B,A^t)^t = (A^t)^t,B^t,A^t = A,B,A^t = P,
usando B^t=B e (A^t)^t = A. Assim (iii) é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que todas as três expressões são iguais às suas transpostas.

Resposta

e) todas as afirmações são verdadeiras.

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