Sejam
e
duas matrizes de ordem
. Mostre que se
ou
são inversíveis então
. (Observação: A identidade é válida em geral para quaisquer matrizes quadradas
e
da mesma ordem).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas
, se pelo menos uma delas é invertível então
O que vamos usar é a propriedade fundamental de determinantes
e o fato de que uma matriz
é invertível se, e somente se,
.
Passo 2
Suponha primeiro que
seja invertível. Observe a identidade matricial
Logo
Tomando determinantes e usando
, vem
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Passo 3
De modo análogo, suponha agora que
seja invertível. Repare que
mas como
e
, segue
Tomando determinantes, chega-se novamente a
e, pela invertibilidade de
, cancelando
, resulta
Passo 4
Concluímos que, seja
ou seja
invertível, sempre vale