Sejam A e B duas matrizes de ordem n. Mostre que se A ou B são inversíveis então det(I+A B)= det(I+B A). (Observação: A identidade é válida em geral para quaisquer matrizes quadradas A e B da mesma ordem).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas A,Bin Mn(K), se pelo menos uma delas é invertível então
detl(I + A,Br) ;=;detl(I + B,Ar)
O que vamos usar é a propriedade fundamental de determinantes
det(M,N) ;=;det(M),det(N)
e o fato de que uma matriz M é invertível se, e somente se, det(M)neq0.

Passo 2

Suponha primeiro que A seja invertível. Observe a identidade matricial
A,(I + B,A) ;=; A + A,B,A e (I + A,B),A ;=; A + A,B,A
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A,(I + B,A) ;=;(I + A,B),A
Tomando determinantes e usando det(MN)=det(M)det(N), vem
det(A),det(I + B,A) ;=; det(I + A,B),det(A)
Como det(A)neq0, podemos dividir ambos os lados por det(A) e obter
det(I + B,A) ;=; det(I + A,B)

Passo 3

De modo análogo, suponha agora que B seja invertível. Repare que
(I + A,B),B ;=; B + A,B,B e B,(I + B,A) ;=; B + B,A,B,
mas como B,B = B,B e A,B,B = A,(B,B), segue
(I + A,B),B = B,(I + B,A)
Tomando determinantes, chega-se novamente a
det(I + A,B),det(B) ;=; det(B),det(I + B,A)
e, pela invertibilidade de B, cancelando det(B)neq0, resulta
det(I + A,B) ;=; det(I + B,A)

Passo 4

Concluímos que, seja A ou seja B invertível, sempre vale
det(I + A,B) ;=; det(I + B,A)

Resposta

boxeddet(I + A,B) = det(I + B,A)

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