Quais das seguintes matrizes são combinações lineares de
A=\left[\begin{array}{cc}-4 & 0 \\\ 2 & -2\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\ 3 & -1\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\ 1 & 4\end{array}\right] ?
\left[\begin{array}{ll}-1 & 6 \\\\ -8 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três matrizes
A=\begin{pmatrix}-4 & 0 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}
e pergunta se a matriz
M=\begin{pmatrix}-1 & 6 \\[4pt] -8 & 8\end{pmatrix}
é combinação linear de A, B e C.
Informações relevantes: as entradas de A,B,C,M estão dadas explicitamente; a tarefa é decidir se existem escalares (reais) que façam uma combinação linear igualar M.]

Passo 2

O que significa ser combinação linear? Significa que existem escalares x,y,z tais que
xA+yB+zC=M.
Cada matriz tem quatro entradas; a igualdade de matrizes vale entrada a entrada. Ou seja, igualando as quatro entradas obtemos um sistema linear para x,y,z. Isso transforma o problema em resolver esse sistema (se for possível).
Exemplo curto para entender: se D=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} e E=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, dizer que F é combinação linear de D,E significa encontrar a,b com aD+bE=F; igualamos cada entrada e resolvemos por a,b.

Passo 3

Vamos montar as equações. Calculemos xA+yB+zC entrada a entrada:
  • Entrada (1,1): -4x + 1y + 0z deve ser igual a -1.
  • Entrada (1,2): 0x + 2y + 2z deve ser igual a 6.
  • Entrada (2,1): 2x + 3y + 1z deve ser igual a -8.
  • Entrada (2,2): -2x -1y +4z deve ser igual a 8.
Portanto obtemos o sistema
\begin{cases} -4x + y = -1,\\[4pt] 2y + 2z = 6,\\[4pt] 2x + 3y + z = -8,\\[4pt] -2x - y + 4z = 8. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver passo a passo. Da primeira equação isolamos y:
y = -1 + 4x.
Da segunda equação dividimos por 2 para simplificar e isolamos z:
y + z = 3 \quad\Rightarrow\quad z = 3 - y.

Passo 5

Substituímos y e z (em função de x) na terceira equação 2x+3y+z=-8.
Primeiro escrevemos y e z em termos de x:
y = -1 + 4x,\qquad z = 3 - y = 3 - (-1+4x)=4-4x.
Agora substituímos:
2x + 3(-1+4x) + (4-4x) = -8.
Calculemos passo a passo:
2x + (-3 + 12x) + 4 - 4x = -8.
Agrupando termos em x e constantes:
(2x + 12x - 4x) + (-3 + 4) = -8 \quad\Rightarrow\quad 10x + 1 = -8.
Logo
10x = -9 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{9}{10}.

Passo 6

Com x=-\dfrac{9}{10} calculamos y e z:
y = -1 + 4x = -1 + 4\left(-\frac{9}{10}\right) = -1 - \frac{36}{10} = -\frac{23}{5},
z = 4 - 4x = 4 - 4\left(-\frac{9}{10}\right) = 4 + \frac{36}{10} = \frac{38}{5}.

Passo 7

Antes de concluir, precisamos verificar a quarta equação (compatibilidade). A quarta equação exige
-2x - y + 4z = 8.
Substituindo os valores encontrados:
-2\!\left(-\frac{9}{10}\right) -\left(-\frac{23}{5}\right) + 4\left(\frac{38}{5}\right).
Calculemos cuidadosamente convertendo tudo para denominador 5:
-2x = \frac{18}{10}=\frac{9}{5},\qquad -y=\frac{23}{5},\qquad 4z=\frac{152}{5}.
Somando:
\frac{9}{5}+\frac{23}{5}+\frac{152}{5}=\frac{184}{5}=36{,}8.
Mas o lado direito exigido é 8=\dfrac{40}{5}. Como \dfrac{184}{5}\neq\dfrac{40}{5}, a quarta equação é violada — o sistema é inconsistente.

Passo 8

Interpretação final: encontramos x,y,z que satisfazem as primeiras três equações, mas a quarta falha, portanto não existem escalares x,y,z que façam xA+yB+zC=M. Conclusão: M não é combinação linear de A,B,C.

Resposta

A matriz \begin{pmatrix}-1 & 6 \\[4pt] -8 & 8\end{pmatrix} não é combinação linear de A,B,C.]

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