é combinação linear de A, B e C.
Informações relevantes: as entradas de A,B,C,M estão dadas explicitamente; a tarefa é decidir se existem escalares (reais) que façam uma combinação linear igualar M.]
Passo 2
O que significa ser combinação linear? Significa que existem escalares x,y,z tais que
xA+yB+zC=M.
Cada matriz tem quatro entradas; a igualdade de matrizes vale entrada a entrada. Ou seja, igualando as quatro entradas obtemos um sistema linear para x,y,z. Isso transforma o problema em resolver esse sistema (se for possível).
Exemplo curto para entender: se D=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} e E=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, dizer que F é combinação linear de D,E significa encontrar a,b com aD+bE=F; igualamos cada entrada e resolvemos por a,b.
Passo 3
Vamos montar as equações. Calculemos xA+yB+zC entrada a entrada:
Entrada (1,1): -4x + 1y + 0z deve ser igual a -1.
Entrada (1,2): 0x + 2y + 2z deve ser igual a 6.
Entrada (2,1): 2x + 3y + 1z deve ser igual a -8.
Entrada (2,2): -2x -1y +4z deve ser igual a 8.
Portanto obtemos o sistema
\begin{cases} -4x + y = -1,\\[4pt] 2y + 2z = 6,\\[4pt] 2x + 3y + z = -8,\\[4pt] -2x - y + 4z = 8. \end{cases}]
Passo 4
Vamos resolver passo a passo. Da primeira equação isolamos y:
y = -1 + 4x.
Da segunda equação dividimos por 2 para simplificar e isolamos z:
y + z = 3 \quad\Rightarrow\quad z = 3 - y.
Passo 5
Substituímos y e z (em função de x) na terceira equação 2x+3y+z=-8.
Mas o lado direito exigido é 8=\dfrac{40}{5}. Como \dfrac{184}{5}\neq\dfrac{40}{5}, a quarta equação é violada — o sistema é inconsistente.
Passo 8
Interpretação final: encontramos x,y,z que satisfazem as primeiras três equações, mas a quarta falha, portanto não existem escalares x,y,z que façam xA+yB+zC=M. Conclusão: M não é combinação linear de A,B,C.
Resposta
A matriz \begin{pmatrix}-1 & 6 \\[4pt] -8 & 8\end{pmatrix} não é combinação linear de A,B,C.]