• Q3. Um solenoide toroidal com um raio médio r e uma área de seção reta A está uniformemente enrolado com um número de espiras igual a N_{1}. Um segundo solenoide com um número de espiras igual a N_{2} é enrolado uniformemente sobre o primeiro, de modo que os dois solenoides tenham a mesma área de seção reta e raio médio.
    (a) Mostre que a indutância mútua é M=\frac{N_{1} N_{2} \mu_{0} r}{2}. Suponha que o campo magnético do primeiro solenoide seja uniforme pela seção reta dos dois solenoides.
    (b) Se N_{1}=500 voltas, N_{2}=300 voltas, r=10,0 \mathrm{~cm} e A=0,800 \mathrm{~cm}^{2}, qual o valor da indutância mútua?

Passo 1

O enunciado descreve dois solenoides toroidais concêntricos, cada um com raio médio r e área de seção reta A, enrolados respectivamente com N_{1} e N_{2} espiras.
Conteúdo: indução mútua em toroide.
Para resolver, vamos usar (i) o campo magnético no interior de um toroide, (ii) a definição de fluxo magnético e (iii) a definição de indutância mútua M=\lambda_{2}/i_{1}, onde \lambda_{2} é o fluxo total ligado ao enrolamento 2 gerado pela corrente i_{1} no enrolamento 1.

Passo 2

Dentro de um toroide de N_{1} espiras, o campo magnético é praticamente circular e uniforme na seção, dado por
B=\frac{\mu_{0}\,N_{1}\,i_{1}}{2\pi\,r}\,.
Aqui usamos a lei de Ampère num trajeto circular de raio médio r.

Passo 3

Cada espira do segundo enrolamento “vê” um fluxo magnético
\varphi = B\,A = \frac{\mu_{0}\,N_{1}\,i_{1}}{2\pi\,r}\;A.

Passo 4

Como há N_{2} espiras no enrolamento 2, o fluxo ligado total é
\lambda_{2}=N_{2}\,\varphi =N_{2}\,\frac{\mu_{0}\,N_{1}\,i_{1}}{2\pi\,r}\;A.
Pela definição de indutância mútua M=\dfrac{\lambda_{2}}{\,i_{1}\,}, vem
M = \frac{\mu_{0}\,N_{1}\,N_{2}\,A}{2\pi\,r}.

Passo 5

Para chegar à forma pedida
M=\frac{N_{1}\,N_{2}\,\mu_{0}\,r}{2},
supõe-se uma seção circular de raio igual a r, ou seja A=\pi\,r^{2}. Substituindo em
\displaystyle M=\frac{\mu_{0}N_{1}N_{2}A}{2\pi r} obtemos
M=\frac{\mu_{0}\,N_{1}\,N_{2}\,\pi\,r^{2}}{2\pi\,r} =\frac{N_{1}\,N_{2}\,\mu_{0}\,r}{2}\,.

Passo 6

Agora, os dados numéricos:
\,N_{1}=500, \,N_{2}=300, \,r=10{,}0\text{ cm}=0{,}10\text{ m}.
Usando
M=\frac{\mu_{0}\,N_{1}\,N_{2}\,r}{2} \quad\text{com}\;\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m},
temos
M = \frac{4\pi\times10^{-7}\times500\times300\times0{,}10}{2} =3\pi\times10^{-3}\,\mathrm{H} \approx9{,}42\times10^{-3}\,\mathrm{H}.

Resposta

M\approx9{,}4\times10^{-3}\,\mathrm{H}.

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