Escrevem-se os inteiros de 1 até 222.222 . Quantas vezes o algarismo zero é escrito?
Passo 1
Enunciado e o que se pede:\n
Escrevem-se os inteiros de até
. A pergunta é: quantas vezes o algarismo zero é escrito ao se listar todos esses números? \n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
Escrevem-se os inteiros de
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
- O intervalo de números é
.\n - Contamos todas as ocorrências do dígito
nos escritos desses números (zeros interiores e finais), mas NÃO contamos zeros “à esquerda” que não aparecem na escrita (ou seja, não preenchemos com zeros à esquerda). \n
O objetivo é então computar o total de aparições do dígitonessa lista.
Passo 2
Estratégia e definição das variáveis (explicação didática):\n
Vamos contar quantos zeros aparecem em cada posição decimal separadamente: unidade, dezena, centena, milhar, dezena de milhar e centena de milhar. Para cada posição usamos o método padrão que separa o número em três partes relativas à posição considerada.\n
Seja a ordem da posição que estamos contando (
unidades,
dezenas, etc.). Definimos três números inteiros:\n
Vamos contar quantos zeros aparecem em cada posição decimal separadamente: unidade, dezena, centena, milhar, dezena de milhar e centena de milhar. Para cada posição usamos o método padrão que separa o número
Seja
Explicação do significado:\n
-
são os dígitos à esquerda da posição que estamos olhando;\n -
é o dígito na posição atual;\n -
são os dígitos à direita da posição atual.\n
Intuição do método: ao percorrer todos os números deaté (ou até , com cuidado para zeros à esquerda), o dígito na posição passa por ciclos 0–9. Em cada ciclo completo o dígito aparece exatamente vezes nessa posição. Precisamos ajustar esses ciclos quando estamos no último (incompleto) ciclo e quando (pois aí zeros nessa posição seriam zeros à esquerda e não contam).
Passo 3
Fórmula para o número de zeros em uma posição (derivação e justificativa simples):\n
Para a posição com ordem :\n
Para a posição com ordem
- Se
, então todos os ciclos completos geram zeros cada, logo o número de zeros nessa posição é
- Se
e , então o último ciclo é incompleto e contribui com zeros, mas devemos subtrair os ciclos que corresponderiam a (que gerariam zeros à esquerda). O resultado é
- Se
(posição mais significativa que nunca aparece em alguns números), então não há zeros escritos nessa posição (porque seriam zeros à esquerda) — nesse caso a contagem é .\n
Essas fórmulas são standard para contar ocorrências do dígito zero sem contar zeros à esquerda; mais abaixo vamos aplicar passo a passo para cada posição em.
Passo 4
Contagem para a posição das unidades (
):\n
Calculemos :\n
Calculemos
Aqui
, então usamos
:\n
Portanto há
zeros na posição das unidades.
Passo 5
Contagem para a posição das dezenas (
):\n
Calculemos as partes:\n
Calculemos as partes:\n
Temos
, então\n
Logo
zeros na posição das dezenas.
Passo 6
Contagem para a posição das centenas (
):\n
Como
,\n
Passo 7
Contagem para a posição dos milhares (
):\n
Como
,\n
Passo 8
Contagem para a posição das dezenas de milhar (
):\n
Como
,\n
Passo 9
Contagem para a posição das centenas de milhar (
):\n
Aqui
. Isso significa que a posição de centenas de milhar só existe (é escrita) em números a partir de
; o dígito zero nessa posição corresponderia a um zero à esquerda e portanto NÃO é escrito. Logo\n
Passo 10
Somando todas as contribuições (agora juntamos os resultados):\n
Vamos somar passo a passo:\n
Portanto o total de zeros escritos é
. Você conseguiu — foi só dividir o problema por posição e aplicar a ideia de ciclos.]