Escrevem-se os inteiros de 1 até 222.222 . Quantas vezes o algarismo zero é escrito?

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
Escrevem-se os inteiros de 1 até 222222. A pergunta é: quantas vezes o algarismo zero é escrito ao se listar todos esses números? \n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • O intervalo de números é 1,2,3,\dots,222222.\n
  • Contamos todas as ocorrências do dígito 0 nos escritos desses números (zeros interiores e finais), mas NÃO contamos zeros “à esquerda” que não aparecem na escrita (ou seja, não preenchemos com zeros à esquerda). \n
    O objetivo é então computar o total de aparições do dígito 0 nessa lista.

Passo 2

Estratégia e definição das variáveis (explicação didática):\n
Vamos contar quantos zeros aparecem em cada posição decimal separadamente: unidade, dezena, centena, milhar, dezena de milhar e centena de milhar. Para cada posição usamos o método padrão que separa o número N=222222 em três partes relativas à posição considerada.\n
Seja w=10^{k} a ordem da posição que estamos contando ( k=0 unidades, k=1 dezenas, etc.). Definimos três números inteiros:\n
\text{high}=\left\lfloor\frac{N}{10w}\right\rfloor,\qquad \text{cur}=\left\lfloor\frac{N}{w}\right\rfloor\bmod 10,\qquad \text{low}=N\bmod w.
Explicação do significado:\n
  • \text{high} são os dígitos à esquerda da posição que estamos olhando;\n
  • \text{cur} é o dígito na posição atual;\n
  • \text{low} são os dígitos à direita da posição atual.\n
    Intuição do método: ao percorrer todos os números de 0 até N (ou 1 até N, com cuidado para zeros à esquerda), o dígito na posição w passa por ciclos 0–9. Em cada ciclo completo o dígito 0 aparece exatamente w vezes nessa posição. Precisamos ajustar esses ciclos quando estamos no último (incompleto) ciclo e quando \text{high}=0 (pois aí zeros nessa posição seriam zeros à esquerda e não contam).

Passo 3

Fórmula para o número de zeros em uma posição (derivação e justificativa simples):\n
Para a posição com ordem w=10^{k}:\n
  • Se \text{cur}>0, então todos os \text{high} ciclos completos geram w zeros cada, logo o número de zeros nessa posição é
\text{cont}=\text{high}\cdot w.
  • Se \text{cur}=0 e \text{high}\ge 1, então o último ciclo é incompleto e contribui com \text{low}+1 zeros, mas devemos subtrair os ciclos que corresponderiam a \text{high}=0 (que gerariam zeros à esquerda). O resultado é
\text{cont}=(\text{high}-1)\cdot w + (\text{low}+1).
  • Se \text{high}=0 (posição mais significativa que nunca aparece em alguns números), então não há zeros escritos nessa posição (porque seriam zeros à esquerda) — nesse caso a contagem é 0.\n
    Essas fórmulas são standard para contar ocorrências do dígito zero sem contar zeros à esquerda; mais abaixo vamos aplicar passo a passo para cada posição em N=222222.

Passo 4

Contagem para a posição das unidades ( k=0,\;w=10^{0}=1):\n
Calculemos \text{high},\text{cur},\text{low}:\n
\text{high}=\left\lfloor\frac{222222}{10}\right\rfloor=22222,\qquad \text{cur}=\left\lfloor\frac{222222}{1}\right\rfloor\bmod 10=2,\qquad \text{low}=222222\bmod 1=0.
Aqui \text{cur}=2>0, então usamos \text{cont}=\text{high}\cdot w:\n
\text{cont}_{\text{unid}}=22222\cdot 1=22222.
Portanto há 22222 zeros na posição das unidades.

Passo 5

Contagem para a posição das dezenas ( k=1,\;w=10):\n
Calculemos as partes:\n
\text{high}=\left\lfloor\frac{222222}{100}\right\rfloor=2222,\qquad \text{cur}=\left\lfloor\frac{222222}{10}\right\rfloor\bmod 10=2,\qquad \text{low}=222222\bmod 10=2.
Temos \text{cur}=2>0, então\n
\text{cont}_{\text{dez}}=\text{high}\cdot w=2222\cdot 10=22220.
Logo 22220 zeros na posição das dezenas.

Passo 6

Contagem para a posição das centenas ( k=2,\;w=100):\n
\text{high}=\left\lfloor\frac{222222}{1000}\right\rfloor=222,\qquad \text{cur}=\left\lfloor\frac{222222}{100}\right\rfloor\bmod 10=2,\qquad \text{low}=222222\bmod 100=22.
Como \text{cur}=2>0,\n
\text{cont}_{\text{cent}}=\text{high}\cdot w=222\cdot 100=22200.

Passo 7

Contagem para a posição dos milhares ( k=3,\;w=1000):\n
\text{high}=\left\lfloor\frac{222222}{10000}\right\rfloor=22,\qquad \text{cur}=\left\lfloor\frac{222222}{1000}\right\rfloor\bmod 10=2,\qquad \text{low}=222222\bmod 1000=222.
Como \text{cur}=2>0,\n
\text{cont}_{\text{mil}}=\text{high}\cdot w=22\cdot 1000=22000.

Passo 8

Contagem para a posição das dezenas de milhar ( k=4,\;w=10000):\n
\text{high}=\left\lfloor\frac{222222}{100000}\right\rfloor=2,\qquad \text{cur}=\left\lfloor\frac{222222}{10000}\right\rfloor\bmod 10=2,\qquad \text{low}=222222\bmod 10000=2222.
Como \text{cur}=2>0,\n
\text{cont}_{10\text{k}}=\text{high}\cdot w=2\cdot 10000=20000.

Passo 9

Contagem para a posição das centenas de milhar ( k=5,\;w=100000):\n
\text{high}=\left\lfloor\frac{222222}{1000000}\right\rfloor=0,\qquad \text{cur}=\left\lfloor\frac{222222}{100000}\right\rfloor\bmod 10=2,\qquad \text{low}=222222\bmod 100000=22222.
Aqui \text{high}=0. Isso significa que a posição de centenas de milhar só existe (é escrita) em números a partir de 100000; o dígito zero nessa posição corresponderia a um zero à esquerda e portanto NÃO é escrito. Logo\n
\text{cont}_{100\text{k}}=0.

Passo 10

Somando todas as contribuições (agora juntamos os resultados):\n
\begin{aligned} \text{cont}_{\text{total}} &=\text{cont}_{\text{unid}}+\text{cont}_{\text{dez}}+\text{cont}_{\text{cent}}+\text{cont}_{\text{mil}}+\text{cont}_{10\text{k}}+\text{cont}_{100\text{k}}\\[4pt] &=22222+22220+22200+22000+20000+0. \end{aligned}
Vamos somar passo a passo:\n
22222+22220=44442,\n
44442+22200=66642,\n
66642+22000=88642,\n
88642+20000=108642.\n
Portanto o total de zeros escritos é 108642. Você conseguiu — foi só dividir o problema por posição e aplicar a ideia de ciclos.]

Resposta

108642

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