De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois interios positivos?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos?”\n
Informações dadas: o número alvo é 720 e estamos procurando pares de inteiros positivos (a,b) tais que a\cdot b=720.\n
Pergunta explícita a responder: quantos pares (a,b) distintos satisfazem a\cdot b=720, considerando a interpretação padrão da expressão do enunciado (ver passo seguinte).

Passo 2

Interpretação do que contar (escolha do método): aqui há uma ambiguidade comum — contar pares ordenados (a,b) (onde a ordem importa) ou decomposições sem ordem (onde a\cdot b e b\cdot a são a mesma decomposição). Vou adotar a interpretação usual em problemas desse tipo: contar decomposições sem distinguir a ordem, ou seja, contar cada par de fatores apenas uma vez (por exemplo, 2\cdot 360 e 360\cdot 2 contam como a mesma decomposição). Eu escolho essa interpretação porque o enunciado fala em “decompor em um produto de dois inteiros” — normalmente queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos escrever 720 como produto, sem considerar a ordem dos fatores. Se a prova quisesse pares ordenados, costumaria dizer “pares ordenados” ou "de quantos pares (a,b)".

Passo 3

Estratégia básica (o método mais simples): para contar decomposições sem ordem, vamos usar a relação entre divisores de 720 e pares de fatores. Cada divisor d de 720 determina a decomposição d\cdot\frac{720}{d}. Assim o número de decomposições ordenadas é igual ao número de divisores de 720. Para obter o número de decomposições sem ordem, dividimos esse total por 2, salvo se 720 for um quadrado perfeito (porque nesse caso há um divisor que se emparelha consigo mesmo). Portanto precisamos: (1) fatorar 720; (2) contar seus divisores; (3) adaptar para decomposições sem ordem.

Passo 4

Fatoração prima de 720 (passo a passo bem mastigado): dividimos repetidamente por primos pequenos.\n
720\div 2=360\n
360\div 2=180\n
180\div 2=90\n
90\div 2=45\n
Agora não é mais divisível por 2. Contamos quatro fatores 2, logo há 2^4.\n
45\div 3=15\n
15\div 3=5\n
Agora não é mais divisível por 3. Contamos dois fatores 3, logo há 3^2.\n
Por fim 5\div 5=1, então há um fator 5, ou 5^1.\n
Portanto a fatoração prima é:
720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1.

Passo 5

Fórmula para o número de divisores e por que ela funciona (explicação didática): se um número tem fatoração
n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},
então um divisor qualquer d de n tem a forma
d = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k},
onde cada \beta_i pode ser 0,1,\dots,\alpha_i. Para cada primo p_i \alpha_i+1 escolhas independentes para \beta_i. Pelo princípio multiplicativo, o número total de divisores de n é
\tau(n)=\prod_{i=1}^k (\alpha_i+1).
Aqui \tau(n) é o número de divisores positivos de n.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso de 720: da fatoração \;720=2^4\cdot3^2\cdot5^1\; temos \alpha_1=4, \alpha_2=2, \alpha_3=1. Então
\tau(720)=(4+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1)=5\cdot3\cdot2=30.
Isso significa que 720 tem 30 divisores positivos.

Passo 7

Relação entre divisores e decomposições em produto de dois números: cada divisor d dá a decomposição d\cdot\frac{720}{d}. Assim há 30 decomposições ordenadas (a,b). Para decomposições sem considerar a ordem (o que adotamos), cada par distinto \{a,b\} corresponde a dois divisores diferentes, exceto no caso a=b (quando a=b=\sqrt{720}). Precisamos verificar se 720 é quadrado perfeito. Pela fatoração, para ser quadrado perfeito todos os expoentes deveriam ser pares; temos expoentes 4,2,1 e o 1 de 5^1 é ímpar, logo 720 não é quadrado perfeito. Portanto não existe decomposição com a=b inteira.\n
Assim o número de decomposições sem ordem é simplesmente \tau(720)/2.

Passo 8

Cálculo final: como \tau(720)=30 e 720 não é quadrado perfeito, o número de decomposições distintas sem considerar a ordem é
\frac{30}{2}=15.
Você pode pensar concretamente: existem 30 divisores; agrupando cada divisor com seu complemento 720/d obtemos 15 pares distintos.

Resposta

15

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