De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois interios positivos?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantos modos
pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos?”\n
Informações dadas: o número alvo é e estamos procurando pares de inteiros positivos
tais que
.\n
Pergunta explícita a responder: quantos pares distintos satisfazem
, considerando a interpretação padrão da expressão do enunciado (ver passo seguinte).
Informações dadas: o número alvo é
Pergunta explícita a responder: quantos pares
Passo 2
Interpretação do que contar (escolha do método): aqui há uma ambiguidade comum — contar pares ordenados
(onde a ordem importa) ou decomposições sem ordem (onde
e
são a mesma decomposição). Vou adotar a interpretação usual em problemas desse tipo: contar decomposições sem distinguir a ordem, ou seja, contar cada par de fatores apenas uma vez (por exemplo,
e
contam como a mesma decomposição). Eu escolho essa interpretação porque o enunciado fala em “decompor em um produto de dois inteiros” — normalmente queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos escrever
como produto, sem considerar a ordem dos fatores. Se a prova quisesse pares ordenados, costumaria dizer “pares ordenados” ou "de quantos pares
".
Passo 3
Estratégia básica (o método mais simples): para contar decomposições sem ordem, vamos usar a relação entre divisores de
e pares de fatores. Cada divisor
de
determina a decomposição
. Assim o número de decomposições ordenadas é igual ao número de divisores de
. Para obter o número de decomposições sem ordem, dividimos esse total por
, salvo se
for um quadrado perfeito (porque nesse caso há um divisor que se emparelha consigo mesmo). Portanto precisamos: (1) fatorar
; (2) contar seus divisores; (3) adaptar para decomposições sem ordem.
Passo 4
Fatoração prima de
(passo a passo bem mastigado): dividimos repetidamente por primos pequenos.\n
\n
\n
\n
\n
Agora não é mais divisível por . Contamos quatro fatores
, logo há
.\n
\n
\n
Agora não é mais divisível por . Contamos dois fatores
, logo há
.\n
Por fim , então há um fator
, ou
.\n
Portanto a fatoração prima é:
Agora não é mais divisível por
Agora não é mais divisível por
Por fim
Portanto a fatoração prima é:
Passo 5
Fórmula para o número de divisores e por que ela funciona (explicação didática): se um número tem fatoração
então um divisor qualquer
de
tem a forma
onde cada
pode ser
. Para cada primo
há
escolhas independentes para
. Pelo princípio multiplicativo, o número total de divisores de
é
Aqui
é o número de divisores positivos de
.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso de
: da fatoração
temos
,
,
. Então
Isso significa que
tem
divisores positivos.
Passo 7
Relação entre divisores e decomposições em produto de dois números: cada divisor
dá a decomposição
. Assim há
decomposições ordenadas
. Para decomposições sem considerar a ordem (o que adotamos), cada par distinto
corresponde a dois divisores diferentes, exceto no caso
(quando
). Precisamos verificar se
é quadrado perfeito. Pela fatoração, para ser quadrado perfeito todos os expoentes deveriam ser pares; temos expoentes
e o
de
é ímpar, logo
não é quadrado perfeito. Portanto não existe decomposição com
inteira.\n
Assim o número de decomposições sem ordem é simplesmente .
Assim o número de decomposições sem ordem é simplesmente
Passo 8
Cálculo final: como
e
não é quadrado perfeito, o número de decomposições distintas sem considerar a ordem é
Você pode pensar concretamente: existem 30 divisores; agrupando cada divisor com seu complemento
obtemos 15 pares distintos.