Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de
?”
Informações dadas: o inteiro cujo conjunto de divisores queremos somar é . Não há mais dados ocultos nem figuras.
Informações dadas: o inteiro cujo conjunto de divisores queremos somar é
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar
em primos. Vou dividir por primos começando por
:
Agora
não é divisível por
; segue-se com
:
E
é primo. Portanto a fatoração é
Passo 3
Agora preciso lembrar uma fórmula útil: a soma dos divisores de uma potência prima
é a soma geométrica
Essa soma tem fórmula fechada (soma de uma progressão geométrica):
Explicação curta de onde vem: multiplica-se a soma por
e o termo a termo cancela-se deixando
, daí a fórmula.
Passo 4
Outra propriedade muito útil: a função “soma dos divisores” é multiplicativa para fatores primos distintos. Ou seja, se
então
Justificativa intuitiva: cada divisor de
é obtido escolhendo, para cada primo
, um expoente entre
e
; ao somar todos os divisores, as escolhas independentes fazem a soma fatorar como produto das somas por primo.
Passo 5
Aplicando isso a
, calculamos a soma para cada primo:
Para
:
(Ou diretamente
.)
Para
:
(Ou
.)
Para
:
Passo 6
Como a soma dos divisores é o produto dessas somas:
Faço a conta passo a passo: primeiro
Depois
Passo 7
Conclusão: a soma de todos os divisores inteiros e positivos de
é
. Força aí — você consegue aplicar esse mesmo procedimento com qualquer número: fatorar, usar as somas geométricas por primo e multiplicar os resultados.