Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?”
Informações dadas: o inteiro cujo conjunto de divisores queremos somar é 720. Não há mais dados ocultos nem figuras.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar 720 em primos. Vou dividir por primos começando por 2:
720 \div 2 = 360,\quad 360 \div 2 = 180,\quad 180 \div 2 = 90,\quad 90 \div 2 = 45.
Agora 45 não é divisível por 2; segue-se com 3:
45 \div 3 = 15,\quad 15 \div 3 = 5.
E 5 é primo. Portanto a fatoração é
720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1.

Passo 3

Agora preciso lembrar uma fórmula útil: a soma dos divisores de uma potência prima \,p^a é a soma geométrica
1 + p + p^2 + \cdots + p^a.
Essa soma tem fórmula fechada (soma de uma progressão geométrica):
1 + p + p^2 + \cdots + p^a = \frac{p^{a+1}-1}{p-1}.
Explicação curta de onde vem: multiplica-se a soma por (p-1) e o termo a termo cancela-se deixando p^{a+1}-1, daí a fórmula.

Passo 4

Outra propriedade muito útil: a função “soma dos divisores” é multiplicativa para fatores primos distintos. Ou seja, se
n = \prod_i p_i^{a_i},
então
\sigma(n) = \prod_i \big(1 + p_i + p_i^2 + \cdots + p_i^{a_i}\big).
Justificativa intuitiva: cada divisor de n é obtido escolhendo, para cada primo p_i, um expoente entre 0 e a_i; ao somar todos os divisores, as escolhas independentes fazem a soma fatorar como produto das somas por primo.

Passo 5

Aplicando isso a 720 = 2^4\cdot 3^2\cdot 5^1, calculamos a soma para cada primo:
Para 2^4:
1+2+2^2+2^3+2^4=\frac{2^{5}-1}{2-1}=\frac{32-1}{1}=31.
(Ou diretamente 1+2+4+8+16=31.)
Para 3^2:
1+3+3^2=\frac{3^{3}-1}{3-1}=\frac{27-1}{2}=\frac{26}{2}=13.
(Ou 1+3+9=13.)
Para 5^1:
1+5=\frac{5^{2}-1}{5-1}=\frac{25-1}{4}=\frac{24}{4}=6.

Passo 6

Como a soma dos divisores é o produto dessas somas:
\sigma(720)=31\cdot 13\cdot 6.
Faço a conta passo a passo: primeiro
31\cdot 13 = 31\cdot(10+3)=310+93=403.
Depois
403\cdot 6 = 2400 + 18 = 2418.

Passo 7

Conclusão: a soma de todos os divisores inteiros e positivos de 720 é 2418. Força aí — você consegue aplicar esse mesmo procedimento com qualquer número: fatorar, usar as somas geométricas por primo e multiplicar os resultados.

Resposta

2418

Exercícios relacionados