Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e :
não têm dígitos iguais a 3,5 ou 6 .

Passo 1

O que o enunciado pede: contar quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6.
Informações dadas e observações importantes:
  • Um número de quatro dígitos tem a forma \overline{d_1d_2d_3d_4} com d_1\neq0.
  • Dígitos proibidos: 3,5,6. Portanto os dígitos permitidos são \{0,1,2,4,7,8,9\},total de 7 dígitos permitidos.
  • Precisamos apenas dos números estritamente maiores que 2400 (ou seja, 2400 não conta).
  • Como a condição envolve um limite 2400 que depende do primeiro e do segundo dígitos, vamos analisar por casos segundo o primeiro dígito d_1.

Passo 2

Estratégia escolhida: contagem por casos com base no dígito das milhares d_1.
Justificativa curta: se d_1\ge3 o número é automaticamente >2400, mas como alguns dígitos ( 3,5,6 ) são proibidos, precisamos listar as possibilidades válidas para d_1. O caso especial é d_1=2, que exige análise do resto \overline{d_2d_3d_4} para garantir ser >400. Vou dividir em:
  • Caso I: d_1\in\{4,7,8,9\} (todos maiores que 2 e permitidos).
  • Caso II: d_1=2, que precisa de subcasos dependendo de d_2.

Passo 3

Contagem do Caso I: milhares d_1\in\{4,7,8,9\}.
Explicação da contagem:
  • Escolhas para d_1: 4 possibilidades ( 4,7,8,9).
  • Para cada escolha de d_1, os demais dígitos d_2,d_3,d_4 podem ser qualquer um dos 7 dígitos permitidos (incluindo 0).
  • Uso da regra do produto: número total é produto das opções em cada posição.
Cálculo:
\text{Quantidade}_{\text{Caso I}} = 4 \times 7 \times 7 \times 7 = 4 \times 7^3 = 4 \times 343 = 1372.

Passo 4

Contagem do Caso II: milhares d_1=2. Aqui devemos ter \overline{d_2d_3d_4}>400 para que o número seja >2400.
Análise dos valores possíveis para d_2 (centenas), lembrando que d_2 só pode ser um dos 7 dígitos permitidos \{0,1,2,4,7,8,9\}:
  • Se d_2>4, isto é d_2\in\{7,8,9\}, então qualquer escolha de d_3,d_4 (entre os 7 permitidos) produz \overline{d_2d_3d_4}\ge700>400. Esses valores são todos válidos.
  • Se d_2=4, então precisamos \overline{d_3d_4}>00, isto é, não podemos ter d_3=0 e d_4=0 ao mesmo tempo (pois \overline{400}=400 daria 2400, que não é permitido).
  • Se d_2\in\{0,1,2\} (menores que 4), então \overline{d_2d_3d_4}<400 e o número seria \le2399, logo não vale.
Vamos contar os subcasos.

Passo 5

Subcaso II.A: d_1=2 e d_2\in\{7,8,9\}.
Contagem:
  • Escolhas para d_2: 3.
  • d_3 tem 7 opções e d_4 tem 7 opções.
  • Pela regra do produto:
\text{Quantidade}_{\text{II.A}} = 3 \times 7 \times 7 = 3 \times 7^2 = 3 \times 49 = 147.

Passo 6

Subcaso II.B: d_1=2 e d_2=4.
Contagem:
  • Para d_3 e d_4 temos 7 opções cada, total 7^2=49 combinações.
  • Porém a combinação d_3=0 e d_4=0 gera o número 2400, que NÃO queremos (porque o enunciado pede maiores que 2400). Então subtraímos essa única combinação.
\text{Quantidade}_{\text{II.B}} = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48.

Passo 7

Somando os subcasos do Caso II:
\text{Quantidade}_{\text{Caso II}} = \text{II.A} + \text{II.B} = 147 + 48 = 195.

Passo 8

Somando os resultados dos dois casos (números com d_1\in\{4,7,8,9\} e números com d_1=2 válidos):
\text{Total} = \text{Caso I} + \text{Caso II} = 1372 + 195 = 1567.

Passo 9

Sanity check rápido (verificação intuitiva): contamos todos os milhares possíveis que geram números >2400 sem usar 3,5,6, tratamos o limite 2400 com cuidado (excluímos exatamente 2400), e usamos a regra do produto em cada caso. A soma final é consistente.

Resposta

1567

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