Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e :
não têm dígitos iguais a 3,5 ou 6 .
Passo 1
O que o enunciado pede: contar quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6.
Informações dadas e observações importantes:
Um número de quatro dígitos tem a forma \overline{d_1d_2d_3d_4} com d_1\neq0.
Dígitos proibidos: 3,5,6. Portanto os dígitos permitidos são\{0,1,2,4,7,8,9\},total de 7 dígitos permitidos.
Precisamos apenas dos números estritamente maiores que 2400 (ou seja, 2400 não conta).
Como a condição envolve um limite 2400 que depende do primeiro e do segundo dígitos, vamos analisar por casos segundo o primeiro dígito d_1.
Passo 2
Estratégia escolhida: contagem por casos com base no dígito das milhares d_1.
Justificativa curta: se d_1\ge3 o número é automaticamente >2400, mas como alguns dígitos ( 3,5,6 ) são proibidos, precisamos listar as possibilidades válidas para d_1. O caso especial é d_1=2, que exige análise do resto \overline{d_2d_3d_4} para garantir ser >400. Vou dividir em:
Caso I: d_1\in\{4,7,8,9\} (todos maiores que 2 e permitidos).
Caso II: d_1=2, que precisa de subcasos dependendo de d_2.
Passo 3
Contagem do Caso I: milhares d_1\in\{4,7,8,9\}.
Explicação da contagem:
Escolhas para d_1: 4 possibilidades (4,7,8,9).
Para cada escolha de d_1, os demais dígitos d_2,d_3,d_4 podem ser qualquer um dos 7 dígitos permitidos (incluindo 0).
Uso da regra do produto: número total é produto das opções em cada posição.
Contagem do Caso II: milhares d_1=2. Aqui devemos ter \overline{d_2d_3d_4}>400 para que o número seja >2400.
Análise dos valores possíveis para d_2 (centenas), lembrando que d_2 só pode ser um dos 7 dígitos permitidos \{0,1,2,4,7,8,9\}:
Se d_2>4, isto é d_2\in\{7,8,9\}, então qualquer escolha de d_3,d_4 (entre os 7 permitidos) produz \overline{d_2d_3d_4}\ge700>400. Esses valores são todos válidos.
Se d_2=4, então precisamos \overline{d_3d_4}>00, isto é, não podemos ter d_3=0 e d_4=0 ao mesmo tempo (pois \overline{400}=400 daria 2400, que não é permitido).
Se d_2\in\{0,1,2\} (menores que 4), então \overline{d_2d_3d_4}<400 e o número seria \le2399, logo não vale.
Para d_3 e d_4 temos 7 opções cada, total 7^2=49 combinações.
Porém a combinação d_3=0 e d_4=0 gera o número 2400, que NÃO queremos (porque o enunciado pede maiores que 2400). Então subtraímos essa única combinação.
Sanity check rápido (verificação intuitiva): contamos todos os milhares possíveis que geram números >2400 sem usar 3,5,6, tratamos o limite 2400 com cuidado (excluímos exatamente 2400), e usamos a regra do produto em cada caso. A soma final é consistente.