Escrever os números abaixo na base decimal (Justo, 2020; Exercício 2.1.2).
(25,13)_{8}

Passo 1

O enunciado dá o número (25,13)_{8} e pede para escrevê‑lo na base decimal.
Informações relevantes que temos:\n
  • O número está na base 8.
  • A parte inteira é (25)_{8} (os dígitos são 2 e 5).
  • A parte fracionária é (,13)_{8} (os dígitos fracionários são 1 e 3).
  • A pergunta é: qual é o valor deste número quando escrito em base decimal?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática do que é representação em base):\n
Para uma base b, um número com dígitos à esquerda e à direita do ponto é escrito como a soma ponderada
\sum_{k=-m}^{n} d_k\, b^{k},
onde cada d_k é um dígito inteiro com 0\le d_k\le b-1, os expoentes k são inteiros (positivos para a parte inteira, negativos para a parte fracionária), e b é a base.
No nosso caso b=8. Então cada posição vale uma potência de 8: à esquerda 8^1,8^0,\dots e à direita 8^{-1},8^{-2},\dots.

Passo 3

Aplicando a fórmula à parte inteira (25)_{8}:\n
Os dígitos são 2 na posição de 8^{1} e 5 na posição de 8^{0}. Logo a parte inteira vale
2\cdot 8^{1} + 5\cdot 8^{0}.
Calculemos passo a passo:\n
8^{1}=8,\qquad 8^{0}=1,
2\cdot 8^{1}=2\cdot 8 = 16,
5\cdot 8^{0}=5\cdot 1 = 5,
\text{parte inteira} = 16 + 5 = 21.

Passo 4

Aplicando a fórmula à parte fracionária (,13)_{8}:\n
Os dígitos fracionários correspondem a potência negativas: 1 na posição 8^{-1} e 3 na posição 8^{-2}. Então
\text{parte fracionária} = 1\cdot 8^{-1} + 3\cdot 8^{-2}.á
Calculemos as potências:\n
8^{-1} = \frac{1}{8} = 0,125,
8^{-2} = \frac{1}{8^{2}} = \frac{1}{64} = 0,015625.
Agora os produtos:
1\cdot 8^{-1} = 1\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} = 0,125,
3\cdot 8^{-2} = 3\cdot \frac{1}{64} = \frac{3}{64} = 0,046875.
Somando as duas parcelas:
\text{parte fracionária} = 0,125 + 0,046875 = 0,171875.á
(Como fração, isso é \dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{64}=\dfrac{8+3}{64}=\dfrac{11}{64}.)

Passo 5

Somando parte inteira e parte fracionária para obter o número em decimal:\n
(25,13)_{8} = \text{parte inteira} + \text{parte fracionária} = 21 + 0,171875 = 21,171875.á
Também podemos escrever como fração:
21 + \frac{11}{64} = \frac{21\cdot 64 + 11}{64} = \frac{1344+11}{64} = \frac{1355}{64}.

Resposta

21,171875

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