- Escrever uma definição fechada (ou termo geral) para as seguintes sequências numéricas:
Passo 1
O enunciado pede: “Escrever uma definição fechada (ou termo geral) para as seguintes sequências numéricas”. As sequências dadas são, exatamente:
Informações relevantes que o enunciado deu:
- Cada linha acima é uma sequência infinita de termos (começando no primeiro termo mostrado).
- O objetivo é encontrar, para cada sequência, uma fórmula que dê o
-ésimo termo diretamente (ou seja, o termo geral/definição fechada). - Não foi dada outra informação; devemos identificar o padrão a partir dos termos fornecidos.
Passo 2
O que é uma “definição fechada” (termo geral)? É uma fórmula que, dada a posição
(um inteiro positivo:
), fornece o valor do
-ésimo termo
sem precisar calcular todos os termos anteriores. Vou explicar os dois padrões mais comuns que aparecem aqui e a fórmula associada, de forma bem didática:
- Progressão aritmética (PA): os termos mudam sempre adicionando uma mesma diferença
. Se é o primeiro termo e a diferença comum, o termo geral é
Aqui
significa “o
-ésimo termo”,
é o primeiro e
é quanto somamos (ou subtraímos, se
) a cada passo.
- Progressão geométrica (PG): os termos mudam sempre multiplicando por uma mesma razão
. Se é o primeiro termo e a razão, o termo geral é
Aqui
é o fator pelo qual multiplicamos para ir de um termo ao próximo.
Além disso, existem padrões que não são só PA ou PG (por exemplo: alternância de sinais ou fórmulas envolvendo potências de 10). Para esses, reconhecemos o padrão e escrevemos a fórmula correspondente.
Vou aplicar isso passo a passo a cada sequência, identificando
,
ou
quando apropriado, derivando a fórmula e checando os primeiros termos para garantir que bate.
Passo 3
Sequência 1:
- Identificar padrão: calcule as diferenças entre termos consecutivos:
As diferenças são sempre
. Portanto é uma progressão aritmética com diferença
.
-
Identificar
: o primeiro termo é . -
Usar a fórmula da PA:
- Substituir
e :
- Simplificar a expressão:
- Checar para alguns
:
-
(ok), -
(ok), -
(ok).
Portanto a fórmula está correta.
Passo 4
Sequência 2:
- Identificar padrão: calcule as razões entre termos consecutivos:
A razão é constante
. Logo é uma progressão geométrica.
-
Identificar
. -
Usar a fórmula da PG:
- Substituir
e :
- Podemos reescrever de outras formas equivalentes (opcional):
mas a forma mais direta é
.
- Checar:
-
(ok), -
(ok).
Passo 5
Sequência 3:
- Identificar padrão: diferenças entre termos:
Diferença constante
. É uma PA.
-
Primeiro termo
. -
Fórmula da PA:
- Substituindo:
- Simplificar:
- Checar:
-
(ok), -
(ok).
Passo 6
Sequência 4:
- Procurar padrão nos números: observe que
Percebeu? O
-ésimo termo tem a forma
.
- Mapear índice: o primeiro termo (quando
) corresponde a . Então a fórmula natural é
- Checar:
-
(ok), -
(ok), -
(ok).
Portanto a fórmula está certa e é bem simples.
Passo 7
Sequência 5:
-
Identificar padrão: os valores alternam entre
e . Isso sugere o uso de elevado a alguma potência que alterna o sinal. -
Queremos
, , , etc. A expressão vale quando é ímpar e quando é par. Então multiplicando por obtemos a alternância desejada. -
Fórmula:
- Checar:
-
(ok), -
(ok), -
(ok).
Observação alternativa (só para saber): também se pode escrever
e ajustar o índice, mas a forma que dei é a mais direta para começar em
quando
.