1. Escrever uma definição fechada (ou termo geral) para as seguintes sequências numéricas:
    19,14,9,4, \ldots
    400,200,100,50, \ldots
    17,27,37,47,57, \ldots
    7,97,997,9997, \ldots
    2,-2,2,-2,2, \ldots

Passo 1

O enunciado pede: “Escrever uma definição fechada (ou termo geral) para as seguintes sequências numéricas”. As sequências dadas são, exatamente:
\;19,14,9,4,\ldots
\;400,200,100,50,\ldots
\;17,27,37,47,57,\ldots
\;7,97,997,9997,\ldots
\;2,-2,2,-2,2,\ldots
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • Cada linha acima é uma sequência infinita de termos (começando no primeiro termo mostrado).
  • O objetivo é encontrar, para cada sequência, uma fórmula que dê o n-ésimo termo a_n diretamente (ou seja, o termo geral/definição fechada).
  • Não foi dada outra informação; devemos identificar o padrão a partir dos termos fornecidos.

Passo 2

O que é uma “definição fechada” (termo geral)? É uma fórmula que, dada a posição n (um inteiro positivo: n=1,2,3,\dots), fornece o valor do n-ésimo termo a_n sem precisar calcular todos os termos anteriores. Vou explicar os dois padrões mais comuns que aparecem aqui e a fórmula associada, de forma bem didática:
  • Progressão aritmética (PA): os termos mudam sempre adicionando uma mesma diferença d. Se a_1 é o primeiro termo e d a diferença comum, o termo geral é
a_n = a_1 + (n-1)d.
Aqui a_n significa “o n-ésimo termo”, a_1 é o primeiro e d é quanto somamos (ou subtraímos, se d<0) a cada passo.
  • Progressão geométrica (PG): os termos mudam sempre multiplicando por uma mesma razão r. Se a_1 é o primeiro termo e r a razão, o termo geral é
a_n = a_1 \, r^{\,n-1}.
Aqui r é o fator pelo qual multiplicamos para ir de um termo ao próximo.
Além disso, existem padrões que não são só PA ou PG (por exemplo: alternância de sinais ou fórmulas envolvendo potências de 10). Para esses, reconhecemos o padrão e escrevemos a fórmula correspondente.
Vou aplicar isso passo a passo a cada sequência, identificando a_1, d ou r quando apropriado, derivando a fórmula e checando os primeiros termos para garantir que bate.

Passo 3

Sequência 1: \;19,14,9,4,\ldots
  1. Identificar padrão: calcule as diferenças entre termos consecutivos:
14-19=-5,\quad 9-14=-5,\quad 4-9=-5.
As diferenças são sempre -5. Portanto é uma progressão aritmética com diferença d=-5.
  1. Identificar a_1: o primeiro termo é a_1=19.
  2. Usar a fórmula da PA:
a_n = a_1 + (n-1)d.
  1. Substituir a_1=19 e d=-5:
a_n = 19 + (n-1)(-5).
  1. Simplificar a expressão:
a_n = 19 -5(n-1) = 19 -5n +5 = 24 -5n.
  1. Checar para alguns n:
  • n=1:\;a_1 = 24-5\cdot1 = 19 (ok),
  • n=2:\;a_2 = 24-5\cdot2 = 14 (ok),
  • n=3:\;a_3 = 24-5\cdot3 = 9 (ok).
Portanto a fórmula está correta.

Passo 4

Sequência 2: \;400,200,100,50,\ldots
  1. Identificar padrão: calcule as razões entre termos consecutivos:
\frac{200}{400}=\tfrac{1}{2},\quad \frac{100}{200}=\tfrac{1}{2},\quad \frac{50}{100}=\tfrac{1}{2}.
A razão é constante r=\tfrac{1}{2}. Logo é uma progressão geométrica.
  1. Identificar a_1=400.
  2. Usar a fórmula da PG:
a_n = a_1\, r^{\,n-1}.
  1. Substituir a_1=400 e r=\tfrac{1}{2}:
a_n = 400\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
  1. Podemos reescrever de outras formas equivalentes (opcional):
a_n = 400\cdot 2^{-(n-1)} = 800\cdot 2^{-n},
mas a forma mais direta é a_n=400\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}.
  1. Checar:
  • n=1:\;400(1/2)^{0}=400 (ok),
  • n=2:\;400(1/2)^{1}=200 (ok).

Passo 5

Sequência 3: \;17,27,37,47,57,\ldots
  1. Identificar padrão: diferenças entre termos:
27-17=10,\quad 37-27=10,\quad 47-37=10.
Diferença constante d=10. É uma PA.
  1. Primeiro termo a_1=17.
  2. Fórmula da PA:
a_n = a_1 + (n-1)d.
  1. Substituindo:
a_n = 17 + (n-1)\cdot 10.
  1. Simplificar:
a_n = 17 + 10n -10 = 10n + 7.
  1. Checar:
  • n=1:\;10\cdot1+7=17 (ok),
  • n=5:\;10\cdot5+7=57 (ok).

Passo 6

Sequência 4: \;7,97,997,9997,\ldots
  1. Procurar padrão nos números: observe que
7 = 10 - 3 = 10^1 - 3,
97 = 100 - 3 = 10^2 - 3,
997 = 1000 - 3 = 10^3 - 3,
9997 = 10000 - 3 = 10^4 - 3.
Percebeu? O k-ésimo termo tem a forma 10^k - 3.
  1. Mapear índice: o primeiro termo (quando n=1) corresponde a 10^1-3. Então a fórmula natural é
a_n = 10^{\,n} - 3.
  1. Checar:
  • n=1:\;10^{1}-3=7 (ok),
  • n=2:\;10^{2}-3=97 (ok),
  • n=3:\;10^{3}-3=997 (ok).
Portanto a fórmula está certa e é bem simples.

Passo 7

Sequência 5: \;2,-2,2,-2,2,\ldots
  1. Identificar padrão: os valores alternam entre 2 e -2. Isso sugere o uso de (-1) elevado a alguma potência que alterna o sinal.
  2. Queremos a_1=2, a_2=-2, a_3=2, etc. A expressão (-1)^{n-1} vale +1 quando n é ímpar e -1 quando n é par. Então multiplicando por 2 obtemos a alternância desejada.
  3. Fórmula:
a_n = 2(-1)^{\,n-1}.
  1. Checar:
  • n=1:\;2(-1)^{0}=2 (ok),
  • n=2:\;2(-1)^{1}=-2 (ok),
  • n=3:\;2(-1)^{2}=2 (ok).
Observação alternativa (só para saber): também se pode escrever a_n = 2(-1)^{n} e ajustar o índice, mas a forma que dei é a mais direta para começar em 2 quando n=1.

Resposta

\;a_n = 24 - 5n
\;a_n = 400\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}
\;a_n = 10n + 7
\;a_n = 10^{\,n} - 3
\;a_n = 2(-1)^{\,n-1}

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