Escrever a expansão das seguintes séries de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^{2 n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expansão em série de potências de
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{2n}}{2^{n}}.
O conteúdo principal é identificar que se trata de uma série geométrica em (x-1)^{2} e usar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como
\frac{(x-1)^{2n}}{2^{n}} \;=\;\biggl(\frac{(x-1)^{2}}{2}\biggr)^{n}.
Logo é uma série geométrica de razão
r=\frac{(x-1)^{2}}{2}.

Passo 3

A soma de uma série geométrica é
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r},
desde que |r|<1. Aqui isso equivale a
\biggl|\frac{(x-1)^{2}}{2}\biggr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<\sqrt{2}.
Portanto, para |x-1|<\sqrt{2} temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{2n}}{2^{n}} =\frac{1}{1-\frac{(x-1)^{2}}{2}} =\frac{2}{2-(x-1)^{2}}.

Passo 4

Para deixar explícita a forma em potências de (x-1), basta listar os primeiros termos:
n=0\mapsto 1, \quad n=1\mapsto \frac{(x-1)^{2}}{2}, \quad n=2\mapsto \frac{(x-1)^{4}}{2^{2}}, \quad n=3\mapsto \frac{(x-1)^{6}}{2^{3}}, \;\dots
Logo a expansão é
1 \;+\;\frac{(x-1)^{2}}{2}\;+\;\frac{(x-1)^{4}}{2^{2}} \;+\;\frac{(x-1)^{6}}{2^{3}}+\cdots.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{2n}}{2^{n}} =1+\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^{4}}{2^{2}}+\frac{(x-1)^{6}}{2^{3}}+\cdots \quad\text{para }|x-1|<\sqrt{2},
e em forma fechada
\frac{2}{2-(x-1)^{2}}.

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