Escrever a matriz X em função das matrizes invertíveis A, B e C.
(A B)^T X C=In

Passo 1

O enunciado dá a matriz desconhecida X sujeita a
(AB)^T , X , C = In
onde A, B e C são matrizes quadradas invertíveis de ordem n. O conteúdo é manipular transposta e inversa de matrizes para isolar X.

Passo 2

Primeiro use a propriedade da transposta de produto:
(AB)^T = B^TA^T
Então a equação vira
B^TA^T,X,C = In

Passo 3

Como B^TA^T e C são invertíveis (produto e transposta de invertíveis é invertível), multiplica-se à esquerda por l(B^TA^Tr)^-1, obtendo
X,C = l(B^TA^Tr)^-1

Passo 4

Para calcular l(B^TA^Tr)^-1, use a regra
(M^T)^-1 = (M^-1)^T
Como B^TA^T = (AB)^T, temos
l(B^TA^Tr)^-1 = l((AB)^Tr)^-1 = (AB)^-T = (B^-1A^-1)^T = (A^-1)^T(B^-1)^T
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X,C = (A^-1)^T(B^-1)^T

Passo 5

Por fim, multiplica-se à direita por C^-1 para isolar X:
X = (A^-1)^T(B^-1)^T,C^-1

Resposta

X = (A^-1)^T(B^-1)^T,C^-1

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