Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 3^-3 n cdot 5^2 n-3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que analisar a série infinita e decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar os critérios que estudamos em sala, especialmente o critério da série geométrica. Vamos precisar lembrar como identificar uma série geométrica e qual é a condição para ela convergir.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série para ver se ela se parece com uma série geométrica. Temos:
3^-3n cdot 5^2n-3
Podemos reescrever isso da seguinte forma:
3^-3n = (13^3)^n = (127)^n
E
5^2n-3 = 5^2n cdot 5^-3 = 5^-3 cdot (5^2)^n = 1125 cdot 25^n
Então, juntando tudo:
3^-3n cdot 5^2n-3 = 1125 cdot (2527)^n
Agora, a série fica:
sumn=1^infty 1125 cdot (2527)^n
Isso é uma série geométrica, onde a razão é .

Passo 3

Para uma série geométrica , ela converge se a razão e diverge se . No nosso caso, e . Portanto, a série converge.

Resposta

A série converge.

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