Eservicio 1 (1 ponto por cada item) - Considere a funchio h(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) Determine a equaçào do plano tangente ao gratico de he no ponto (3,-4, h(3,-4))
(b) Determine a linearização e a aproximação linear de h no ponto (3,-4).
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximaçio para h( 3, 01 ;-4,01 ).

Passo 1

O enunciado define a função
h(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede:
  1. A equação do plano tangente ao gráfico de h no ponto \bigl(3,-4,h(3,-4)\bigr).
  2. A linearização (ou aproximação linear) de h em (3,-4) e, com ela, uma aproximação para h(3,01,-4,01).
    Para isso vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente / polinômio de Taylor de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor da função e as derivadas parciais em (3,-4):
h(3,-4)=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
As derivadas parciais são
h_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad h_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
logo em (3,-4):
h_{x}(3,-4)=\frac{3}{5}, \quad h_{y}(3,-4)=\frac{-4}{5}.

Passo 3

A equação do plano tangente a z=h(x,y) em (a,b,h(a,b)) é
z = h(a,b) + h_{x}(a,b)\,(x-a) + h_{y}(a,b)\,(y-b).
Aqui a=3 e b=-4, então
z = 5 + \frac{3}{5}\,(x-3) - \frac{4}{5}\,(y+4).

Passo 4

A linearização de h em (3,-4) é a função
L(x,y)=5 + \frac{3}{5}\,(x-3) - \frac{4}{5}\,(y+4).
Ela serve como aproximação de h(x,y) perto de (3,-4).

Passo 5

Para aproximar h(3,01,-4,01) usamos (x,y)=(3,01,-4,01). Então
x-3=0,01, \quad y+4=-0,01,
e
L(3,01,-4,01) =5 + \frac{3}{5}\cdot0,01 - \frac{4}{5}\cdot(-0,01) =5 + 0,006 + 0,008 =5,014.

Resposta

(a) z = 5 + \frac{3}{5}(x-3) - \frac{4}{5}(y+4).
(b) A linearização é
L(x,y)=5 + \frac{3}{5}(x-3) - \frac{4}{5}(y+4),
e a aproximação obtida para h(3,01,-4,01) é aproximadamente 5,014.

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