Exercicio 3 ( 2 pontos) - Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de míximo local, mínimo local e pontos de sela da função f(x, y)=e^{2 x-x^{2}-y^{2}}, caso existam.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Hessiana na função
f(x,y)=e^{2x - x^{2} - y^{2}}
para determinar todos os pontos críticos e classificá-los em mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Para isso precisamos (a) achar os pontos em que \nabla f=0 e (b) calcular a matriz Hessiana e analisar seu determinante e o sinal de \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} em cada ponto crítico.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais primeiras:
\frac{\partial f}{\partial x} = (2 - 2x)\,e^{2x - x^{2} - y^{2}} =2(1 - x)e^{2x - x^{2} - y^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} = (-2y)\,e^{2x - x^{2} - y^{2}}.
Para \nabla f=0 basta igualar as derivadas a zero. Como e^{2x - x^{2} - y^{2}}\neq0 para todo (x,y), obtemos
2(1 - x)=0\quad\Rightarrow\quad x=1,
-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Logo há um único ponto crítico: (1,0).

Passo 3

Agora as derivadas segundas para formar a Hessiana:
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[2(1 - x)e^{2x - x^{2} - y^{2}}\bigr] =e^{2x - x^{2} - y^{2}}\bigl[-2+4(1-x)^{2}\bigr],
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[-2y\,e^{2x - x^{2} - y^{2}}\bigr] =e^{2x - x^{2} - y^{2}}\bigl[-2+4y^{2}\bigr],
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[2(1 - x)e^{2x - x^{2} - y^{2}}\bigr] =-4y(1-x)\,e^{2x - x^{2} - y^{2}}.

Passo 4

Avalie em (1,0). Como 2\cdot1-1^{2}-0=1 temos e^{2x - x^{2} - y^{2}}=e. Então
f_{xx}(1,0)=e\bigl[-2+4(0)^{2}\bigr]=-2e, \quad f_{yy}(1,0)=e\bigl[-2+0\bigr]=-2e, \quad f_{xy}(1,0)=0.
A Hessiana é
H(1,0)=\begin{pmatrix}-2e & 0\\[6pt]0 & -2e\end{pmatrix},
seu determinante é
\det H(1,0)=(-2e)\cdot(-2e)=4e^{2}>0,
e f_{xx}(1,0)=-2e<0. Pelo Teste da Hessiana, (1,0) é ponto de máximo local.]

Resposta

O único ponto crítico é (1,0), que é máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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