Exercicio 3 ( 2 pontos) - Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de míximo local, mínimo local e pontos de sela da função
, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Hessiana na função
para determinar todos os pontos críticos e classificá-los em mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Para isso precisamos (a) achar os pontos em que
e (b) calcular a matriz Hessiana e analisar seu determinante e o sinal de
em cada ponto crítico.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais primeiras:
Para
basta igualar as derivadas a zero. Como
para todo
, obtemos
Logo há um único ponto crítico:
.
Passo 3
Agora as derivadas segundas para formar a Hessiana:
Passo 4
Avalie em
. Como
temos
. Então
A Hessiana é
seu determinante é
e
. Pelo Teste da Hessiana,
é ponto de máximo local.]
Resposta
O único ponto crítico é
, que é máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de sela.