Questão (50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo é teste de convergência de séries alternadas e absoluta. Vamos usar o Teste de Leibniz (série alternada) e, para a convergência absoluta, o Teste da Integral na série de termos positivos
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teste de Leibniz para a sequência
-
para todo . -
. -
é monotonicamente decrescente para suficientemente grande. De fato, considere a função contínua
Seu derivado é
logo
(e portanto
) decresce.
Passo 3
Pelas três condições acima, a série alternada satisfaz o Teste de Leibniz e, portanto, converge (convergência condicional).
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, analisamos
Aplicamos o Teste da Integral. Considere
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Como a integral diverge, a série de termos positivos
também diverge.
Resposta
A série
converge condicionalmente (convergente pelo Teste de Leibniz e divergente em valor absoluto).