3^{\text {a }} Questão (50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{n\ln(n)}
é convergente ou divergente. O conteúdo é teste de convergência de séries alternadas e absoluta. Vamos usar o Teste de Leibniz (série alternada) e, para a convergência absoluta, o Teste da Integral na série de termos positivos \sum \frac{1}{n\ln(n)}.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teste de Leibniz para a sequência
b_n = \frac{1}{n\ln(n)},\quad n\ge2:
  1. b_n>0 para todo n\ge2.
  2. \lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln(n)} = 0.
  3. b_n é monotonicamente decrescente para n suficientemente grande. De fato, considere a função contínua
f(x) = \frac{1}{x\ln(x)},\quad x>1.
Seu derivado é
f'(x) = -\frac{\ln(x)+1}{x^2[\ln(x)]^2} <0\quad\text{para }x>1,
logo f (e portanto b_n) decresce.

Passo 3

Pelas três condições acima, a série alternada satisfaz o Teste de Leibniz e, portanto, converge (convergência condicional).

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)}.
Aplicamos o Teste da Integral. Considere
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)}\,dx.
Fazendo a substituição u=\ln(x), du=\frac{1}{x}dx, obtemos
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)}\,dx = \int_{\ln(2)}^{\infty}\frac{1}{u}\,du = \bigl[\ln(u)\bigr]_{\ln(2)}^{\infty} = \infty.
Como a integral diverge, a série de termos positivos \sum 1/(n\ln(n)) também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln(n)} converge condicionalmente (convergente pelo Teste de Leibniz e divergente em valor absoluto).

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