Exercício 4 (2 pontos por cada item) - Calcule as integrais;
\iiint_{E}(x-2 y-z) d V, em que E=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ;-2 \leq x \leq 0,-1 \leq y \leq 3,0 \leq z \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{E}(x-2y-z)\,dV
sobre o paralelepípedo
E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -2\le x\le0,\;-1\le y\le3,\;0\le z\le2\}.
O conteúdo é integração tripla sobre região retangular, aplicando o Teorema de Fubini e a linearidade da integral.

Passo 2

Pela linearidade,
\iiint_{E}(x-2y-z)\,dV =\iiint_{E}x\,dV \;-\;2\iiint_{E}y\,dV \;-\;\iiint_{E}z\,dV.
Como os limites em x, y e z são independentes, podemos fatorar cada integral em produto de integrais unidimensionais.

Passo 3

Calcular \displaystyle \iiint_{E}x\,dV:
\int_{z=0}^{2}\!\int_{y=-1}^{3}\!\int_{x=-2}^{0}x\,dx\,dy\,dz =\Bigl(\int_{x=-2}^{0}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{y=-1}^{3}dy\Bigr)\Bigl(\int_{z=0}^{2}dz\Bigr).
Temos
\int_{x=-2}^{0}x\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_{-2}^{0} =0-\frac{4}{2} =-2, \quad \int_{y=-1}^{3}dy=4, \quad \int_{z=0}^{2}dz=2.
Logo
\iiint_{E}x\,dV = (-2)\cdot 4\cdot 2 = -16.

Passo 4

Calcular \displaystyle \iiint_{E}y\,dV:
\int_{x=-2}^{0}dx\;\int_{y=-1}^{3}y\,dy\;\int_{z=0}^{2}dz = (2)\;\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{-1}^{3}\;(2) = 2\cdot\bigl(\tfrac{9-1}{2}\bigr)\cdot2 = 2\cdot4\cdot2 = 16.
Multiplicando pelo fator -2 da expressão original, obtemos
-2\iiint_{E}y\,dV = -2\cdot16 = -32.

Passo 5

Calcular \displaystyle \iiint_{E}z\,dV:
\int_{x=-2}^{0}dx\;\int_{y=-1}^{3}dy\;\int_{z=0}^{2}z\,dz = (2)\;(4)\;\Bigl[\tfrac{z^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} = 2\cdot4\cdot2 = 16.
No integrando original esse termo aparece com sinal negativo, então
-\iiint_{E}z\,dV = -16.

Passo 6

Somando os três resultados:
\iiint_{E}(x-2y-z)\,dV =(-16)+(-32)+(-16) =-64.

Resposta

-64

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