Uma esfera de 30 mm de diâmetro cuja superfície é difusa e cinza com uma emissividade de 0,8 é posta em um forno de grandes dimensões em que as paredes se encontram à temperatura uniforme de 600 K . A temperatura do ar no forno é de 400 K, e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a esfera e o ar no forno é de 15 W / m 2 cdot K.
Qual será a temperatura em regime permanente da esfera?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera que está dentro de um forno. A esfera tem um diâmetro de 30 mm, uma emissividade de 0,8, e está em um ambiente onde as paredes do forno estão a 600 K e o ar a 400 K. Além disso, temos um coeficiente de transferência de calor por convecção de 15 , W/m^2 cdot K. O que precisamos encontrar é a temperatura da esfera em regime permanente.
Vamos usar conceitos de transferência de calor por radiação e convecção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da esfera. O diâmetro é 30 mm, então o raio $ r $ é 15 mm ou 0,015 metros. A fórmula da área de uma esfera é:
r
Substituindo:
A = 4 pi r^2

Passo 3

Agora, vamos entender os mecanismos de troca de calor:
  1. Convecção: O calor perdido pela esfera para o ar é dado por:
Qconv = h cdot A cdot (Ts - Tar)
Onde:
  • $ h = 15 , \mathrm{W/m^2 \cdot K} $
  • $ T_s $ é a temperatura da esfera
  • $ T_{ar} = 400 , \mathrm{K} $
  1. Radiação: O calor radiado pela esfera para as paredes do forno é:
h = 15 , W/m^2 cdot K
Onde:
  • $ \varepsilon = 0,8 $
  • $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , \mathrm{W/m^2 \cdot K^4} $
  • $ T_{parede} = 600 , \mathrm{K} $

Passo 4

Em regime permanente, o calor ganho pela esfera deve ser igual ao calor perdido. Então, temos a equação de equilíbrio:
Qconv + Qrad = 0
Substituindo as expressões:
h cdot A cdot (Ts - Tar) + varepsilon cdot sigma cdot A cdot (Ts^4 - Tparede^4) = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ A $:
A

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem $ T_s $:
Ts
Substituindo os valores conhecidos:
varepsilon sigma Ts^4 + h Ts = varepsilon sigma Tparede^4 + h Tar

Passo 6

Vamos calcular o lado direito da equação:
  1. Calculando $ \varepsilon \sigma T_{parede}^4 $:
varepsilon sigma Tparede^4
  1. Calculando $ h T_{ar} $:
0,8 times 5,67 times 10^-8 times (600)^4 approx 0,8 times 5,67 times 10^-8 times 1,296 times 10^11 approx 5875,58 , W/m^2
Somando os dois:
h Tar

Passo 7

Agora nossa equação fica:
0,8 times 5,67 times 10^-8 times Ts^4 + 15 Ts = 11875,58
Vamos simplificar os coeficientes:
4,536 times 10^-8 Ts^4 + 15 Ts - 11875,58 = 0

Passo 8

Essa é uma equação não linear em termos de $ T_s $. Para resolver, podemos usar métodos numéricos como o método de Newton-Raphson ou tentar uma aproximação.
Vamos tentar uma aproximação assumindo que a contribuição da radiação é significativa, mas não domina completamente. Tentaremos encontrar $ T_s $ aproximadamente.

Passo 9

Fazendo uma suposição inicial, digamos que $ T_s $ esteja perto de $ T_{parede} = 600 , \mathrm{K} $. Vamos ajustar esse valor:
Substituindo $ T_s = 500 , \mathrm{K} $:
Ts
Ainda menor que 11875,58.
Agora, $ T_s = 550 , \mathrm{K} $:
Tparede = 600 , K
Agora passou de 11875,58. Então $ T_s $ está entre 500 K e 550 K. Podemos refinar mais:

Passo 10

Vamos tentar $ T_s = 540 , \mathrm{K} $:
Ts = 540 , K
Já está bem próximo de 11875,58. Vamos ajustar um pouco mais para baixo:

Passo 11

Tentando $ T_s = 538 , \mathrm{K} $:
Ts = 538 , K
Perfeito! Atingimos praticamente 11875,58 $ \mathrm{W/m^2} $.

Resposta

A temperatura da esfera em regime permanente é aproximadamente 538 , K.

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