Uma esfera de 30 mm de diâmetro cuja superfície é difusa e cinza com uma emissividade de 0,8 é posta em um forno de grandes dimensões em que as paredes se encontram à temperatura uniforme de 600 K . A temperatura do ar no forno é de 400 K, e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a esfera e o ar no forno é de
.
Qual será a temperatura em regime permanente da esfera?
Qual será a temperatura em regime permanente da esfera?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera que está dentro de um forno. A esfera tem um diâmetro de 30 mm, uma emissividade de 0,8, e está em um ambiente onde as paredes do forno estão a 600 K e o ar a 400 K. Além disso, temos um coeficiente de transferência de calor por convecção de
. O que precisamos encontrar é a temperatura da esfera em regime permanente.
Vamos usar conceitos de transferência de calor por radiação e convecção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da esfera. O diâmetro é 30 mm, então o raio $ r $ é 15 mm ou 0,015 metros. A fórmula da área de uma esfera é:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos entender os mecanismos de troca de calor:
- Convecção: O calor perdido pela esfera para o ar é dado por:
Onde:
- $ h = 15 , \mathrm{W/m^2 \cdot K} $
- $ T_s $ é a temperatura da esfera
- $ T_{ar} = 400 , \mathrm{K} $
- Radiação: O calor radiado pela esfera para as paredes do forno é:
Onde:
- $ \varepsilon = 0,8 $
- $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , \mathrm{W/m^2 \cdot K^4} $
- $ T_{parede} = 600 , \mathrm{K} $
Passo 4
Em regime permanente, o calor ganho pela esfera deve ser igual ao calor perdido. Então, temos a equação de equilíbrio:
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ A $:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem $ T_s $:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Vamos calcular o lado direito da equação:
- Calculando $ \varepsilon \sigma T_{parede}^4 $:
- Calculando $ h T_{ar} $:
Somando os dois:
Passo 7
Agora nossa equação fica:
Vamos simplificar os coeficientes:
Passo 8
Essa é uma equação não linear em termos de $ T_s $. Para resolver, podemos usar métodos numéricos como o método de Newton-Raphson ou tentar uma aproximação.
Vamos tentar uma aproximação assumindo que a contribuição da radiação é significativa, mas não domina completamente. Tentaremos encontrar $ T_s $ aproximadamente.
Passo 9
Fazendo uma suposição inicial, digamos que $ T_s $ esteja perto de $ T_{parede} = 600 , \mathrm{K} $. Vamos ajustar esse valor:
Substituindo $ T_s = 500 , \mathrm{K} $:
Ainda menor que 11875,58.
Agora, $ T_s = 550 , \mathrm{K} $:
Agora passou de 11875,58. Então $ T_s $ está entre 500 K e 550 K. Podemos refinar mais:
Passo 10
Vamos tentar $ T_s = 540 , \mathrm{K} $:
Já está bem próximo de 11875,58. Vamos ajustar um pouco mais para baixo:
Passo 11
Tentando $ T_s = 538 , \mathrm{K} $:
Perfeito! Atingimos praticamente 11875,58 $ \mathrm{W/m^2} $.
Resposta
A temperatura da esfera em regime permanente é aproximadamente
.