Uma placa vertical de 0,2 \mathrm{~m} \times 0,2 \mathrm{~m}, tem a temperatura de superfície mantida em 40^{\circ} \mathrm{C}. O ar, a 20^{\circ} \mathrm{C}, está escoando em paralelo sobre a placa, com uma velocidade de 0,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a taxa de transferência de calor para escoamento assistido e oposto.

Passo 1

O enunciado dá uma placa vertical de dimensão 0,2\;\mathrm{m}\times0,2\;\mathrm{m} com a superfície mantida em 40\;^\circ\mathrm{C}. O ar a 20\;^\circ\mathrm{C} escoa paralelo à placa com velocidade U=0,4\;\mathrm{m/s}. Pede-se a taxa de calor Q para os casos de escoamento assistido (fluxo ascendente) e oposto (fluxo descendente). O conteúdo envolve convecção mista em placa vertical, usando:
– correlação de convecção forçada (placa plana laminar),
– correlação de convecção natural (placa vertical),
– fórmula para convecção mista.

Passo 2

Escolhemos propriedades do ar a temperatura de filme T_f=(40+20)/2=30\;^\circ\mathrm{C}:
Pr=0{,}71,\quad \nu=1{,}57\times10^{-5}\;\mathrm{m^2/s},\quad k=0{,}0263\;\mathrm{W/(m\cdot K)}.
Comprimento característico L=0{,}2\;\mathrm{m}. Calculamos o número de Reynolds
Re_L=\frac{U\,L}{\nu} =\frac{0,4\times0,2}{1{,}57\times10^{-5}} \approx5{,}33\times10^{3},
que indica escoamento laminar sobre a placa.

Passo 3

Para convecção forçada laminar usamos
Nu_f =0,664\,Re_L^{1/2}\,Pr^{1/3}.
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Nu_f=0,664\,(5{,}33\times10^{3})^{1/2}\,(0,71)^{1/3} \approx43{,}2,
e o coeficiente
h_f=\frac{Nu_f\,k}{L} =\frac{43{,}2\times0{,}0263}{0{,}2} \approx5{,}69\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 4

Para convecção natural em placa vertical, definimos
\Delta T=40-20=20\;K,
Ra_L=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu\,(\nu/Pr)},
com \beta=1/T_f\approx1/303\;\mathrm{K^{-1}}. Numericamente
Ra_L\approx1{,}5\times10^{7}.
Usamos a correlação laminar
Nu_n =0,68 +\frac{0,670\,Ra_L^{1/4}} {\bigl(1+(0,492/Pr)^{9/16}\bigr)^{4/9}},
que dá
Nu_n\approx32{,}6, \quad h_n=\frac{Nu_n\,k}{L}\approx4{,}29\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 5

Para convecção mista definimos (laminar laminar)
Nu_{\text{mix, ass}} =\bigl(Nu_f^3 + Nu_n^3\bigr)^{1/3}, \quad Nu_{\text{mix, opp}} =\bigl|\,Nu_f^3 - Nu_n^3\bigr|^{1/3}.
Calculando
Nu_{\text{mix, ass}}\approx48{,}7,\quad Nu_{\text{mix, opp}}\approx35{,}5,
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h_{\text{ass}} =\frac{48{,}7\times0{,}0263}{0{,}2}\approx6{,}40\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}, \quad h_{\text{opp}} =\frac{35{,}5\times0{,}0263}{0{,}2}\approx4{,}67\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 6

A área da placa é
A=0{,}2\times0{,}2=0{,}04\;\mathrm{m^2}.
A taxa de calor Q=h\,A\,\Delta T
Q_{\text{ass}} =6{,}40\times0{,}04\times20 \approx5{,}12\;\mathrm{W}, \quad Q_{\text{opp}} =4{,}67\times0{,}04\times20 \approx3{,}74\;\mathrm{W}.

Resposta

Para escoamento assistido: Q\approx5{,}12\;\mathrm{W}.
Para escoamento oposto: Q\approx3{,}74\;\mathrm{W}.

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