Numa esfera dielétrica oca existe uma densidade volumar de cargas constante. O raio externo da esfera é igual a
e o raio interno do buraco concêntrico com a esfera é igual a
. Determine o campo elétrico da esfera em função da densidade de cargas: (a) para os pontos externos à esfera (
); (b) para os pontos no interior da parte maciça da esfera (
); © para pontos situados no interior do buraco (
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico em uma esfera dielétrica oca com densidade de carga constante. A matéria que vamos usar aqui é o Campo Elétrico em Distribuições de Carga Simétricas, especialmente aplicando a Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em diferentes regiões da esfera: fora dela, dentro da parte maciça e no buraco interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico quando a distribuição de carga tem simetria. A lei diz que:
Onde
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície gaussiana,
é a carga total dentro dessa superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio
. Dependendo de onde
está (fora da esfera, dentro da parte maciça ou no buraco), a carga envolvida
muda.
Passo 4
a) Para
(pontos externos à esfera):
Aqui, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. A carga total
da esfera é dada por:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 5
b) Para
(interior da parte maciça da esfera):
Aqui, apenas a carga dentro do raio
contribui para o campo elétrico. O volume dentro de
é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 6
c) Para
(interior do buraco):
Nesse caso, não há carga dentro da superfície gaussiana, já que o buraco é oco. Então,
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Logo, o campo elétrico:
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
:
© Para
: