Numa esfera dielétrica oca existe uma densidade volumar de cargas constante. O raio externo da esfera é igual a b e o raio interno do buraco concêntrico com a esfera é igual a a. Determine o campo elétrico da esfera em função da densidade de cargas: (a) para os pontos externos à esfera ( r >= b ); (b) para os pontos no interior da parte maciça da esfera ( a <= r <= b ); © para pontos situados no interior do buraco ( r ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo elétrico em uma esfera dielétrica oca com densidade de carga constante. A matéria que vamos usar aqui é o Campo Elétrico em Distribuições de Carga Simétricas, especialmente aplicando a Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em diferentes regiões da esfera: fora dela, dentro da parte maciça e no buraco interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico quando a distribuição de carga tem simetria. A lei diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde E é o campo elétrico, dA é um elemento de área da superfície gaussiana, Qenc é a carga total dentro dessa superfície, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio r. Dependendo de onde r está (fora da esfera, dentro da parte maciça ou no buraco), a carga envolvida Qenc muda.

Passo 4

a) Para r >= b (pontos externos à esfera):
Aqui, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. A carga total Q da esfera é dada por:
Q = rho times Volume da esfera oca = rho times (43pi b^3 - 43pi a^3) = rho times 43pi (b^3 - a^3)
Aplicando a Lei de Gauss:
E times 4pi r^2 = rho times 43pi (b^3 - a^3)varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho (b^3 - a^3)3varepsilon0 r^2

Passo 5

b) Para a <= r <= b (interior da parte maciça da esfera):
Aqui, apenas a carga dentro do raio r contribui para o campo elétrico. O volume dentro de r é:
Qenc = rho times 43pi (r^3 - a^3)
Aplicando a Lei de Gauss:
E times 4pi r^2 = rho times 43pi (r^3 - a^3)varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho (r^3 - a^3)3varepsilon0 r^2 = rho (r - a^3r^2)3varepsilon0

Passo 6

c) Para r < a (interior do buraco):
Nesse caso, não há carga dentro da superfície gaussiana, já que o buraco é oco. Então, Qenc = 0.
Aplicando a Lei de Gauss:
E times 4pi r^2 = 0
Logo, o campo elétrico:
E = 0

Resposta

(a) Para r >= b:
E = rho (b^3 - a^3)3varepsilon0 r^2
(b) Para a <= r <= b:
E = rho (r^3 - a^3)3varepsilon0 r^2
© Para r < a:
E = 0

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