Uma onda transversal, harmônica e descritas pela função seno, propaga-se no sentido negativo do eixo x com velocidade de 50 cm / s, amplitude de 10 cm e frequência igual a 2,0 Hz. Suponha que ela se some a uma segunda onda. Escreva a expressão para a onda resultante supondo que a segunda onda tenha:
(a) mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e fase, mas se propague no sentido contrário;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas ondas transversais harmônicas que se somam. Precisamos encontrar a expressão para a onda resultante quando a segunda onda tem a mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e fase, mas se propaga na direção oposta. Vamos precisar usar conceitos de ondas, como função seno, superposição de ondas e propriedades de ondas harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma onda harmônica transversal. Geralmente, ela é representada por:
y(x, t) = A sin(kx pm omega t + phi)
Aqui:
  • é a amplitude da onda,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial,
  • é a posição,
  • é o tempo.

Passo 3

A onda original se propaga no sentido negativo do eixo y1(x, t) = A sin(kx + omega t + phi) , então sua equação fica:
y2(x, t) = A sin(-kx + omega t + phi)
A segunda onda tem as mesmas características, mas se move na direção oposta, ou seja, no sentido positivo do eixo . Então, a equação dela é:

Passo 4

Para encontrar a onda resultante, precisamos somar y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) e y(x, t) = A sin(kx + omega t + phi) + A sin(-kx + omega t + phi) :
Substituindo as equações:

Passo 5

Vamos usar a identidade trigonométrica para a soma de senos:
sin alpha + sin beta = 2 sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Aplicando isso na nossa equação:
y(x, t) = 2A sin((kx + omega t + phi) + (-kx + omega t + phi)2) cos((kx + omega t + phi) - (-kx + omega t + phi)2)

Passo 6

Simplificando os termos dentro dos parênteses:
(kx - kx) + (omega t + omega t) + (phi + phi)2 = 2omega t + 2phi2 = omega t + phi
(kx + kx) + (omega t - omega t) + (phi - phi)2 = 2kx2 = kx
Então:
y(x, t) = 2A sin(omega t + phi) cos(kx)

Resposta

A expressão para a onda resultante é:
y(x, t) = 2A sin(omega t + phi) cos(kx)

Exercícios relacionados