Um tubo cilíndrico, espesso, não-condutor, com o raio interno a e o externo b, tem uma densidade de carga constante rho. Determine o campo elétrico desta distribuição de cargas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo cilíndrico não-condutor, com raio interno $ a $ e raio externo $ b $, e ele está carregado de forma uniforme, ou seja, com uma densidade de carga constante $ \rho $. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico gerado por essa distribuição de carga. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída no tubo. Como o tubo é espesso e não-condução, a carga está distribuída uniformemente no volume do cilindro entre os raios $ a $ e $ b $. A densidade de carga $ \rho $ nos diz quanta carga está presente por unidade de volume.

Passo 3

Agora, para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Devido à simetria cilíndrica do problema, vamos escolher um cilindro imaginário coaxial com o tubo, com raio $ r $ e comprimento $ L $. A ideia é calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana e relacionar com a carga encerrada por ela.

Passo 4

A Lei de Gauss é dada por:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico
  • $ d\vec{A} $ é o elemento de área da superfície gaussiana
  • $ Q_{enc} $ é a carga total encerrada pela superfície
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo
Devido à simetria, o campo elétrico $ \vec{E} $ terá a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana e será perpendicular a ela. Portanto, o fluxo elétrico simplifica para:
E

Passo 5

Vamos considerar três casos diferentes para $ r $:
  1. $ r < a $: Neste caso, a superfície gaussiana está dentro da cavidade interna, onde não há carga. Portanto, $ Q_{enc} = 0 $, o que implica que $ E = 0 $.
  2. $ a \leq r \leq b $: Aqui, a superfície gaussiana está dentro do material do tubo. A carga encerrada é proporcional ao volume dentro do raio $ r $:
r
Substituindo na Lei de Gauss:
r < a
  1. $ r > b $: A superfície gaussiana envolve todo o tubo. A carga total é:
Qenc = 0
Aplicando a Lei de Gauss:
E = 0

Resposta

O campo elétrico $ E® $ para a distribuição de carga dada é:
E(r)

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