Um tubo cilíndrico, espesso, não-condutor, com o raio interno
e o externo
, tem uma densidade de carga constante
. Determine o campo elétrico desta distribuição de cargas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo cilíndrico não-condutor, com raio interno $ a $ e raio externo $ b $, e ele está carregado de forma uniforme, ou seja, com uma densidade de carga constante $ \rho $. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico gerado por essa distribuição de carga. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída no tubo. Como o tubo é espesso e não-condução, a carga está distribuída uniformemente no volume do cilindro entre os raios $ a $ e $ b $. A densidade de carga $ \rho $ nos diz quanta carga está presente por unidade de volume.
Passo 3
Agora, para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Devido à simetria cilíndrica do problema, vamos escolher um cilindro imaginário coaxial com o tubo, com raio $ r $ e comprimento $ L $. A ideia é calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana e relacionar com a carga encerrada por ela.
Passo 4
A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
- $ \vec{E} $ é o campo elétrico
- $ d\vec{A} $ é o elemento de área da superfície gaussiana
- $ Q_{enc} $ é a carga total encerrada pela superfície
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo
Devido à simetria, o campo elétrico $ \vec{E} $ terá a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana e será perpendicular a ela. Portanto, o fluxo elétrico simplifica para:
Passo 5
Vamos considerar três casos diferentes para $ r $:
-
$ r < a $: Neste caso, a superfície gaussiana está dentro da cavidade interna, onde não há carga. Portanto, $ Q_{enc} = 0 $, o que implica que $ E = 0 $.
-
$ a \leq r \leq b $: Aqui, a superfície gaussiana está dentro do material do tubo. A carga encerrada é proporcional ao volume dentro do raio $ r $:
Substituindo na Lei de Gauss:
- $ r > b $: A superfície gaussiana envolve todo o tubo. A carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
O campo elétrico $ E® $ para a distribuição de carga dada é: