Uma esfera não condutora de raio
tem uma cavidade esférica de raio
cujo centro coincide com o da esfera. Uma carga
está uniformemente distribuída no volume da esfera. Determine o campo elétrico em pontos fora da esfera, no interior da esfera e na cavidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera não condutora com raio $ R_1 $ que tem uma cavidade esférica no centro com raio $ R_2 $. Dentro da parte restante da esfera, uma carga $ Q $ está distribuída de forma uniforme. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: fora da esfera, dentro da esfera (mas fora da cavidade) e dentro da cavidade. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a carga está distribuída. A carga total $ Q $ está espalhada uniformemente no volume da esfera excluindo a cavidade. Então, o volume efetivo onde a carga está presente é a diferença entre o volume total da esfera e o volume da cavidade:
A densidade de carga $ \rho $ é então:
Passo 3
Vamos começar calculando o campo elétrico fora da esfera ($ r > R_1 $). Para isso, usamos a Lei de Gauss considerando uma superfície esférica de raio $ r $ maior que $ R_1 $. Nessa região, toda a carga $ Q $ está dentro da superfície gaussiana, então o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual:
Passo 4
Agora, vamos ver o campo elétrico dentro da esfera, mas fora da cavidade ($ R_2 < r < R_1 $). Aqui, consideramos uma superfície gaussiana de raio $ r $. A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dentro de $ r $:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Por fim, vamos determinar o campo elétrico dentro da cavidade ($ r < R_2 $). Nessa região, não há carga dentro da superfície gaussiana porque a cavidade é vazia. Portanto, pelo fato de não haver carga encerrada:
Resposta
-
Fora da esfera ($ r > R_1 $):
-
Dentro da esfera, fora da cavidade ($ R_2 < r < R_1 $):
-
Dentro da cavidade ($ r < R_2 $):