Uma esfera não condutora de raio R1 tem uma cavidade esférica de raio R2 cujo centro coincide com o da esfera. Uma carga Q está uniformemente distribuída no volume da esfera. Determine o campo elétrico em pontos fora da esfera, no interior da esfera e na cavidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera não condutora com raio $ R_1 $ que tem uma cavidade esférica no centro com raio $ R_2 $. Dentro da parte restante da esfera, uma carga $ Q $ está distribuída de forma uniforme. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: fora da esfera, dentro da esfera (mas fora da cavidade) e dentro da cavidade. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a carga está distribuída. A carga total $ Q $ está espalhada uniformemente no volume da esfera excluindo a cavidade. Então, o volume efetivo onde a carga está presente é a diferença entre o volume total da esfera e o volume da cavidade:
Q
A densidade de carga $ \rho $ é então:
Vefetivo = 43pi R1^3 - 43pi R2^3 = 43pi (R1^3 - R2^3)

Passo 3

Vamos começar calculando o campo elétrico fora da esfera ($ r > R_1 $). Para isso, usamos a Lei de Gauss considerando uma superfície esférica de raio $ r $ maior que $ R_1 $. Nessa região, toda a carga $ Q $ está dentro da superfície gaussiana, então o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual:
r > R1

Passo 4

Agora, vamos ver o campo elétrico dentro da esfera, mas fora da cavidade ($ R_2 < r < R_1 $). Aqui, consideramos uma superfície gaussiana de raio $ r $. A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dentro de $ r $:
R2 < r < R1
Aplicando a Lei de Gauss:
r

Passo 5

Por fim, vamos determinar o campo elétrico dentro da cavidade ($ r < R_2 $). Nessa região, não há carga dentro da superfície gaussiana porque a cavidade é vazia. Portanto, pelo fato de não haver carga encerrada:
r < R2

Resposta

  • Fora da esfera ($ r > R_1 $):
    r > R1
  • Dentro da esfera, fora da cavidade ($ R_2 < r < R_1 $):
    E = Q4pi varepsilon0 r^2
  • Dentro da cavidade ($ r < R_2 $):
    R2 < r < R1

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