Uma esfera isolante sólida de raio
tem uma densidade de carga não uniforme que varia com
de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. Mostre que o campo elétrico dentro da esfera
é
. (Dica: Observe que a carga total
na esfera é igual à integral de
, onde
vai de 0 a
; observe também que a carga
dentro de um raio
é menor do que
. Para calcular as integrais, observe que o elemento de volume
para uma casca esférica de raio
a espessura
é igual a
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante sólida com raio
e uma densidade de carga que não é constante, mas varia com a distância ao centro. A densidade de carga está dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico
dentro dessa esfera, ou seja, para
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de carga elétrica, densidade de carga, integração em coordenadas esféricas e a lei de Gauss da eletricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga total
na esfera é obtida integrando a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera. Como a densidade depende de
, precisamos usar coordenadas esféricas para fazer essa integração. O elemento de volume
para uma casca esférica de raio
e espessura
é
. Então, a carga total é:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Então, a carga total na esfera é
.
Passo 4
Agora, para encontrar o campo elétrico
em um ponto dentro da esfera a uma distância
do centro, vamos usar a lei de Gauss. Segundo essa lei, o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo
. Para uma esfera de raio
, o fluxo elétrico é
e a carga encerrada
é dada pela mesma integração da densidade de carga, mas de 0 a
:
Passo 5
Aplicando a lei de Gauss:
Agora, vamos isolar
:
Resposta
Portanto, o campo elétrico dentro da esfera para
é dado por: