Uma esfera maciça condutora de raio a=2,00 \mathrm{~cm} é (concêntrica) com uma casca esférica não condutora de raio interno \mathrm{b}=(2,00 \mathrm{a}) \mathrm{cm} e raio externo \mathrm{c}=(2,40 \mathrm{a}) \mathrm{cm}. A esfera possui uma carga \left[\mathrm{q}_{1}=+5,00 \times 10^{-6} \mathrm{C}\right] e a casca possui uma carga \left[\mathrm{q}_{2}=-\mathrm{q}_{1}^{1}\right., uniformemente distribuída. Determine o módulo do campo elétrico em
r=2,50 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado descreve um sistema esférico concêntrico: uma esfera condutora maciça de raio a=2{,}00\\ \mathrm{cm} com carga q_{1}=+5,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e uma casca esférica não condutora de raio interno b=2,00a=4{,}00\\ \mathrm{cm} e externo c=2{,}40a=4{,}80\\ \mathrm{cm} com carga q_{2}=-q_{1} distribuída uniformemente no volume b<r<c. Precisamos encontrar o campo elétrico em r=2{,}50\\ \mathrm{cm}. O conteúdo principal a usar é a Lei de Gauss para distribuições esféricas, que diz que
\Phi_E = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}
e, por simetria, \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\mathrm{int}}}{r^2}.

Passo 2

Identificamos que o ponto r=2{,}50\\ \mathrm{cm} satisfaz a<r<b. Nessa região, toda a carga q_{1} da esfera condutora está dentro de um possível casco gaussiano de raio r, mas a carga da casca não condutora q_{2} ainda está toda fora (pois começa em r=b). Logo, o total de carga encerrada é
Q_{\mathrm{int}} = q_{1} = +5,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Aplicando a expressão de campo de Gauss para simetria esférica, temos
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\mathrm{int}}}{r^2} \quad\text{com}\quad r=2{,}50\\ \mathrm{cm}=0{,}0250\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Substituindo valores numéricos \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)} e 1/(4\pi\varepsilon_0)=9,00\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}:
E(0{,}0250) =9{,}00\times10^9\;\frac{5{,}00\times10^{-6}}{(0{,}0250)^2} =9{,}00\times10^9\;\frac{5{,}00\times10^{-6}}{6{,}25\times10^{-4}} =7{,}20\times10^7\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

O módulo do campo elétrico em r=2{,}50\\ \mathrm{cm} é
E=7{,}20\times10^7\\ \mathrm{N/C},
direcionado radialmente para fora.

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