O ar que inicialmente ocupa 0,140 \mathrm{~m}^{3} a uma pressão de 203,0 \mathrm{kPa}, se expande isotermicamente para uma pressão de 101,3 \mathrm{kPa}, e em seguida é resfriado a pressão constante até atingir o volume inicial. Calcule o trabalho total realizado pelo ar.

Passo 1

O enunciado descreve um gás (ar) que parte de P_{1}=203{,}0\:\text{kPa} e V_{1}=0{,}140\:\text{m}^{3}. Primeiro ele se expande isotermicamente até P_{2}=101{,}3\:\text{kPa}, e em seguida é resfriado a pressão constante P_{2} até retornar ao volume V_{1}. Vamos calcular o trabalho em cada etapa:
  1. expansão isotérmica
  2. resfriamento isobárico
    e depois somar para obter o trabalho total.

Passo 2

Na expansão isotérmica vale a relação de Boyle–Mariotte
P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}.
Isolando V_{2},
V_{2}=\frac{P_{1}}{P_{2}}\,V_{1} =\frac{203{,}0}{101{,}3}\times0{,}140 \approx0{,}2804\:\text{m}^{3}.

Passo 3

O trabalho realizado numa transformação isotérmica de um gás ideal é
W_{12} =nRT\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr) =P_{1}V_{1}\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr).
Substituindo os valores,
\frac{V_{2}}{V_{1}}= \frac{0{,}2804}{0{,}140}=2{,}003, \quad \ln(2{,}003)\approx0{,}695,
W_{12} =203{,}0\times0{,}140\times0{,}695 \approx19{,}8\:\text{kJ}.

Passo 4

No resfriamento isobárico a pressão é constante em P_{2} e o volume varia de V_{2} para V_{3}=V_{1}. O trabalho é
W_{23} =\int_{V_{2}}^{V_{1}}P_{2}\,dV =P_{2}\bigl(V_{1}-V_{2}\bigr) =101{,}3\bigl(0{,}140-0{,}2804\bigr) \approx -14{,}2\:\text{kJ}.

Passo 5

O trabalho total é a soma das duas etapas:
W_{\text{total}} =W_{12}+W_{23} =19{,}8\:\text{kJ}+(-14{,}2\:\text{kJ}) \approx5{,}6\:\text{kJ}.

Resposta

O trabalho total realizado pelo ar é aproximadamente 5{,}6\:\text{kJ}.

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