Uma esfera maciça condutora de raio a=2,00 \mathrm{~cm} é (concêntrica) com uma casca esférica não condutora de raio interno \mathrm{b}=(2,00 \mathrm{a}) \mathrm{cm} e raio externo \mathrm{c}=(2,40 \mathrm{a}) \mathrm{cm}. A esfera possui uma carga \left[\mathrm{q}_{1}=+5,00 \times 10^{-6} \mathrm{C}\right] e a casca possui uma carga \left[\mathrm{q}_{2}=-\mathrm{q}_{1}^{1}\right., uniformemente distribuída. Determine o módulo do campo elétrico em
\mathrm{r}=2,20 \mathrm{a}

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora sólida de raio a=2{,}00\\ \mathrm{cm} que carrega q_{1}=+5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, concêntrica a uma casca esférica não condutora com raio interno b=2{,}00\,a e raio externo c=2{,}40\,a, que carrega q_{2}=-q_{1} distribuída uniformemente no seu volume. Precisamos determinar o campo elétrico no ponto r=2{,}20\,a. O conteúdo usado será a Lei de Gauss e a noção de densidade volumétrica de carga em casca não condutora.

Passo 2

Como a casca é não condutora e a carga q_{2} está distribuída uniformemente no volume entre r=b e r=c, sua densidade volumétrica é
\rho \;=\;\frac{q_{2}}{\tfrac{4\pi}{3}\bigl(c^{3}-b^{3}\bigr)}\,.
Substituindo q_{2}=-q_{1}, b=2\,a e c=2{,}4\,a, vamos deixar a fórmula em termos de volumes cúbicos para não misturar numérico agora.

Passo 3

Para um raio genérico r tal que b<r<c, a carga da casca contida até esse raio é
Q_{\text{casca,\,enc}} \;=\;\rho\;\frac{4\pi}{3}\,\bigl(r^{3}-b^{3}\bigr) \;=\;q_{2}\,\frac{r^{3}-b^{3}}{c^{3}-b^{3}} \,.

Passo 4

O total de carga encerrada por uma superfície esférica de raio r (com b<r<c) é a soma da carga da esfera condutora (que está toda em r=a) mais a parte de carga da casca até r:
Q_{\mathrm{enc}}(r) =\;q_{1} \;+\;q_{2}\,\frac{r^{3}-b^{3}}{c^{3}-b^{3}}.

Passo 5

Pela Lei de Gauss, para b<r<c o módulo do campo é
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r)}{r^{2}}.

Passo 6

Agora colocamos a=0{,}02\\ \mathrm{m}, b=2\,a=0{,}04\\ \mathrm{m}, c=2{,}4\,a=0{,}048\\ \mathrm{m}, r=2{,}2\,a=0{,}044\\ \mathrm{m}, q_{1}=5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, q_{2}=-5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})}. Primeiro o fator de fração:
\frac{r^{3}-b^{3}}{c^{3}-b^{3}} =\frac{(0{,}044)^{3}-(0{,}04)^{3}}{(0{,}048)^{3}-(0{,}04)^{3}} \approx0{,}4545.
Logo
Q_{\mathrm{enc}} =5{,}00\times10^{-6} \;+\;\bigl(-5{,}00\times10^{-6}\bigr)\times0{,}4545 \approx2{,}7278\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Finalmente
E(0{,}044) =\frac{1}{4\pi\,(8{,}854\times10^{-12})} \;\frac{2{,}7278\times10^{-6}}{(0{,}044)^{2}} \approx1{,}27\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

O módulo do campo elétrico em r=2{,}20\,a é aproximadamente
E\approx1{,}27\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.

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