Uma esfera maciça isolante de raio R=0,30 \mathrm{~m} possui carga total Q=-6 \mu \mathrm{C} distribuída uniformemente em todo o seu volume.
Calcule o campo elétrico: No exterior da esfera para r=0,60 \mathrm{~m}. Indique também o sentido do campo elétrico.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar explicitamente para a gente não se perder):
  • Dados:
    • Raio da esfera: R=0,30\\ \mathrm{m}.
    • Carga total da esfera (distribuição uniforme no volume): Q=-6\\ \mu\mathrm{C}.
    • Ponto onde se quer o campo: r=0,60\\ \mathrm{m} (observe que r>R, isto é, ponto no exterior da esfera).
  • Pedido:
    • Calcular o campo elétrico em r=0,60\\ \mathrm{m} (módulo e expressão).
    • Indicar o sentido (direção) do campo elétrico nesse ponto.

Passo 2

Entendimento da simetria e escolha da superfície gaussiana (explicação didática).
  • A carga está distribuída uniformemente em toda a esfera maciça. Isso gera simetria esférica: qualquer ponto a uma mesma distância r do centro tem as mesmas condições físicas.
  • Pela simetria esférica o campo elétrico, se existir, deve ser radial (ou seja, na direção do raio) e ter mesma intensidade em todos os pontos de uma esfera de raio r centrada na esfera carregada.
  • Dado isso, a escolha natural é uma superfície gaussiana também esférica, de raio r=0,60\\ \mathrm{m}, concêntrica com a esfera carregada. Essa escolha simplifica muito os cálculos porque o campo será constante sobre essa superfície e paralelo ao vetor área local.

Passo 3

Enunciado e explicação da Lei de Gauss (a fórmula e o que cada símbolo significa).
  • A Lei de Gauss em forma integral é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \vec{E} é o campo elétrico;
  • d\vec{A} é o vetor área infinitesimal da superfície (módulo igual à área elementar, direção normal à superfície, para fora);
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície fechada;
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
  • Para a superfície esférica de raio r temos \vec{E} paralelo a d\vec{A} em todo lugar e o módulo E é constante na superfície. Assim o fluxo é simplesmente E multiplicado pela área total da esfera gaussiana:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = E \cdot 4\pi r^{2}.

Passo 4

Aplicação da Lei de Gauss e fórmula do campo fora da esfera.
  • Substituindo o fluxo na Lei de Gauss:
E\cdot 4\pi r^{2} = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Para r>R (ponto no exterior), toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então Q_{\text{int}}=Q (a carga total da esfera).
  • Daí isolamos E:
E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\, r^{2}}.
  • Observação prática: essa expressão é exatamente a mesma do campo criado por uma carga pontual Q situada no centro. Ou seja, externamente a esfera carregada se comporta como uma carga pontual colocada no seu centro.

Passo 5

Conversões numéricas e preparação dos valores para cálculo.
  • Converter a carga para coulombs:
Q = -6\\ \mu\mathrm{C} = -6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Raio do ponto onde queremos o campo:
r = 0,60\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r^{2} = (0,60)^{2} = 0,36\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Constante eletrostática (às vezes mais prática em cálculos): k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Assim podemos escrever
E(r)=k\,\dfrac{Q}{r^{2}}.

Passo 6

Cálculo numérico do módulo do campo (passo a passo aritmético).
  • Primeiro calculo do produto k\cdot |Q|:
k\cdot |Q| \approx (8,99\times10^{9})\cdot(6\times10^{-6}) = (8,99\cdot6)\times10^{3} = 53,94\times10^{3}=5,394\times10^{4}.
  • Agora dividimos por r^{2}=0,36:
E_{\text{módulo}}=\dfrac{5,394\times10^{4}}{0,36}\approx 1,4983\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.ó
  • Arredondando para três algarismos significativos:
E_{\text{módulo}}\approx 1,50\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.ó

Passo 7

Determinação do sentido (direção) do campo e expressão vetorial.
  • A expressão escalar que obtivemos com o sinal em Q dá também a orientação: como Q é negativa ( Q=-6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}), o valor de E calculado com a fórmula \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}} será negativo quando tomamos a convenção de \hat{r} como o versor radial apontando para fora do centro.
  • Portanto o campo vetorial é
\vec{E}(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}}\\ \hat{r}.
  • Substituindo numericamente (mostrando o sinal):
\vec{E}(0,60\\ \mathrm{m}) \approx -\,1,50\times10^{5}\\ \hat{r}\\ \mathrm{N/C}.
  • Interpretação física: o sinal negativo indica que o campo aponta no sentido oposto a \hat{r}, isto é, aponta radialmente para dentro — ou seja, em direção ao centro da esfera. Intuitivamente, cargas negativas atraem cargas positivas de teste, então o campo aponta para o centro.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(0,60\\ \mathrm{m})\approx -\,1,50\times10^{5}\\ \hat{r}\\ \mathrm{N/C}
Direção: radial, apontando para o centro da esfera (campo dirigido para o interior).

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