Uma esfera maciça isolante de raio
possui carga total
distribuída uniformemente em todo o seu volume.
Calcule o campo elétrico: No exterior da esfera para
. Indique também o sentido do campo elétrico.
Calcule o campo elétrico: No exterior da esfera para
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar explicitamente para a gente não se perder):
- Dados:
- Raio da esfera:
. - Carga total da esfera (distribuição uniforme no volume):
. - Ponto onde se quer o campo:
(observe que , isto é, ponto no exterior da esfera).
- Raio da esfera:
- Pedido:
- Calcular o campo elétrico em
(módulo e expressão). - Indicar o sentido (direção) do campo elétrico nesse ponto.
- Calcular o campo elétrico em
Passo 2
Entendimento da simetria e escolha da superfície gaussiana (explicação didática).
- A carga está distribuída uniformemente em toda a esfera maciça. Isso gera simetria esférica: qualquer ponto a uma mesma distância
do centro tem as mesmas condições físicas. - Pela simetria esférica o campo elétrico, se existir, deve ser radial (ou seja, na direção do raio) e ter mesma intensidade em todos os pontos de uma esfera de raio
centrada na esfera carregada. - Dado isso, a escolha natural é uma superfície gaussiana também esférica, de raio
, concêntrica com a esfera carregada. Essa escolha simplifica muito os cálculos porque o campo será constante sobre essa superfície e paralelo ao vetor área local.
Passo 3
Enunciado e explicação da Lei de Gauss (a fórmula e o que cada símbolo significa).
- A Lei de Gauss em forma integral é
onde:
-
é o campo elétrico; -
é o vetor área infinitesimal da superfície (módulo igual à área elementar, direção normal à superfície, para fora); -
é a carga total contida no interior da superfície fechada; -
é a permissividade do vácuo, . - Para a superfície esférica de raio
temos paralelo a em todo lugar e o módulo é constante na superfície. Assim o fluxo é simplesmente multiplicado pela área total da esfera gaussiana:
Passo 4
Aplicação da Lei de Gauss e fórmula do campo fora da esfera.
- Substituindo o fluxo na Lei de Gauss:
- Para
(ponto no exterior), toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então (a carga total da esfera). - Daí isolamos
:
- Observação prática: essa expressão é exatamente a mesma do campo criado por uma carga pontual
situada no centro. Ou seja, externamente a esfera carregada se comporta como uma carga pontual colocada no seu centro.
Passo 5
Conversões numéricas e preparação dos valores para cálculo.
- Converter a carga para coulombs:
- Raio do ponto onde queremos o campo:
- Constante eletrostática (às vezes mais prática em cálculos):
. - Assim podemos escrever
Passo 6
Cálculo numérico do módulo do campo (passo a passo aritmético).
- Primeiro calculo do produto
:
- Agora dividimos por
:
- Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 7
Determinação do sentido (direção) do campo e expressão vetorial.
- A expressão escalar que obtivemos com o sinal em
dá também a orientação: como é negativa ( ), o valor de calculado com a fórmula será negativo quando tomamos a convenção de como o versor radial apontando para fora do centro. - Portanto o campo vetorial é
- Substituindo numericamente (mostrando o sinal):
- Interpretação física: o sinal negativo indica que o campo aponta no sentido oposto a
, isto é, aponta radialmente para dentro — ou seja, em direção ao centro da esfera. Intuitivamente, cargas negativas atraem cargas positivas de teste, então o campo aponta para o centro.
Resposta
Direção: radial, apontando para o centro da esfera (campo dirigido para o interior).