Uma esfera maciça isolante com raio de 1,43 \mathrm{~m} é carregada uniformemente com carga de 2,5 \mathrm{nC}.
Calcule a magnitude do campo elétrico a uma distância de metade do raio a partir do centro da esfera.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera maciça isolante de raio R=1{,}43,m carregada uniformemente com carga total Q=2{,}5\times10^{-9},C e pede o campo elétrico na região interna, a uma distância r=\tfrac{R}{2} do centro. O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss para distribuição esférica, que nos permite achar o campo dentro da esfera sabendo que a carga envolvida cresce com o volume até r.

Passo 2

Para usar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio genérico r<R. A simetria esférica implica que o campo tem módulo constante nessa superfície e aponta radialmente. A Lei de Gauss diz:
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga contida no interior da esfera de raio r.

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente no volume, a fração da carga total dentro do raio r é o mesmo que a fração dos volumes:
Q_{\text{int}} = Q \,\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}} = Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.

Passo 4

Substituindo Q_{\text{int}} na Lei de Gauss, temos
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q\,r^{3}/R^{3}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,r}{R^{3}}.

Passo 5

Agora avaliamos em r = \tfrac{R}{2}:
E\!\Bigl(\tfrac{R}{2}\Bigr) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,(\tfrac{R}{2})}{R^{3}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{2\,R^{2}}.
Usando 1/(4\pi\varepsilon_{0})\approx8{,}99\times10^{9},N· m^{2}/ C^{2}, Q=2{,}5\times10^{-9},C e R=1{,}43,m,
E\!\Bigl(\tfrac{R}{2}\Bigr) \approx 8{,}99\times10^{9}\;\frac{2{,}5\times10^{-9}}{2\,(1{,}43)^{2}} \approx 5{,}5\\ \text{N/C}.

Resposta

A magnitude do campo elétrico é aproximadamente 5{,}5,N/C.

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