Questão 4. (10 pontos). Um fio condutor cilíndrico e maciço com resistividade \rho, área transversal A e comprimento L é percorrido por uma corrente elétrica i quando submetido a uma d.d.p. \Delta V em suas extremidades. Se o fio é achatado até o comprimento \mathrm{L}=\mathrm{L} / 2 e mantida a mesma corrente elétrica i , calcule: (a) a nova d.d.p. \Delta \mathrm{V}^{\prime} e (b) a nova densidade de corrente \mathrm{j}^{\prime}. Descreva sua hipótese para os cálculos se necessário e apresente suas respostas em funçāo de A, L, \rho, \Delta V e j.

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de comprimento L, área de seção reta A e resistividade \rho. Sob uma d.d.p. \Delta V passa uma corrente i, o que envolve a lei de Ohm e a definição de densidade de corrente j=i/A. Quando o fio é “achatado” até o novo comprimento L' = L/2 mantendo o volume constante, teremos mudança em sua área de seção reta. Vamos usar conservação de volume, lei de Ohm e definição de densidade de corrente para achar \Delta V' e j'.

Passo 2

A resistência inicial do fio é
R \;=\;\frac{\rho\,L}{A}
e a lei de Ohm dá
\Delta V \;=\;i\,R\;=\;i\,\frac{\rho\,L}{A}\,.
A densidade de corrente inicial é
j \;=\;\frac{i}{A}\,.

Passo 3

Como o volume do fio se conserva ao achatá-lo, vale
A\,L \;=\;A'\,L'\quad\text{com}\quad L'=\frac{L}{2}\,,
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A' \;=\;\frac{A\,L}{L'}\;=\;2A\,.

Passo 4

A resistência do fio achatado é
R' \;=\;\frac{\rho\,L'}{A'} \;=\;\frac{\rho\,(L/2)}{2A} \;=\;\frac{\rho\,L}{4A} \;=\;\frac{R}{4}\,.
Como a corrente i continua a mesma, a nova d.d.p. é
\Delta V' \;=\;i\,R' \;=\;i\,\frac{R}{4} \;=\;\frac{\Delta V}{4}\,.

Passo 5

A nova densidade de corrente é
j' \;=\;\frac{i}{A'} \;=\;\frac{i}{2A} \;=\;\frac{1}{2}\,\frac{i}{A} \;=\;\frac{j}{2}\,.

Resposta

(a) \Delta V' = \dfrac{\Delta V}{4}
(b) j' = \dfrac{j}{2}

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