( \mathbf{2 , 5} pontos) Um tubo de ferro fundido de 4 cm de diâmetro conecta dois reservatórios, com a superfície de um reservatório 10 m abaixo da superfície do outro. Há dois joelhos roscáveis padrão e uma válvula angular totalmente aberta no tubo de 50 m de comprimento. Pressuponto uma entrda de aretas vivas, calcule a vazão entre os reservatórios. Pressupona uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de água (a 20^{\circ}\mathrm{C}) entre dois reservatórios com diferença de nível de 10\\ \mathrm{m}. O escoamento ocorre por um tubo de ferro fundido de diâmetro interno D = 0{,}04\\ \mathrm{m} e comprimento L = 50\\ \mathrm{m}. Há ainda perdas menores em:
  • entrada com aresta viva K_{\rm ent}=0,5,
  • dois joelhos roscáveis padrão K_{\rm jto}=0,3 cada),
  • uma válvula angular totalmente aberta ( K_{\rm v}=1{,}5.
    Vamos usar a equação de Bernoulli entre as superfícies livres, acrescida das perdas por atrito (Darcy-Weisbach) e das perdas menores, e resolver para a vazão.

Passo 2

Propriedades da água a 20^{\circ}\mathrm{C}:
\rho = 998\\ \mathrm{kg/m^3}, \quad \nu = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, \quad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Expressão do somatório das perdas:
– Perda maior (atrito no tubo)
h_{\rm f} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy;
– Perdas menores
h_{\rm m} = \sum K_i\,\frac{v^2}{2g} = \Bigl(K_{\rm ent} + 2K_{\rm jto} + K_{\rm v}\Bigr)\,\frac{v^2}{2g} = \bigl(0{,}5 + 2\cdot0{,}3 + 1{,}5\bigr)\,\frac{v^2}{2g} = 2{,}6\,\frac{v^2}{2g}.
A queda total de carga é fornecida pelos 10\\ \mathrm{m} de diferença de nível, logo
10 = \frac{v^2}{2g}\Bigl(f\,\tfrac{L}{D} + 2{,}6\Bigr).

Passo 4

Estimativa do fator de atrito f pelo diagrama de Moody (ou fórmula de Colebrook–White).
Primeiro suponha um v\approx2\\ \mathrm{m/s} para estimar o Reynolds:
\Re = \frac{v\,D}{\nu}\approx \frac{2\,\times0{,}04}{1{,}0\times10^{-6}}\approx8\times10^4.
Como o tubo é de ferro fundido, adote rugosidade absoluta \epsilon\approx0{,}26\,\mathrm{mm}, logo \epsilon/D=0{,}26\times10^{-3}/0{,}04=6{,}5\times10^{-3}.
Pelo diagrama de Moody, em \Re\sim8\times10^4 e \epsilon/D\sim6{,}5\times10^{-3}, temos
f\approx0{,}03.

Passo 5

Substituindo f na equação de perda total:
10 = \frac{v^2}{2\cdot9{,}81}\Bigl(0{,}03\cdot\tfrac{50}{0{,}04}+2{,}6\Bigr) = \frac{v^2}{19{,}62}\Bigl(37{,}5+2{,}6\Bigr) = \frac{v^2}{19{,}62}\times40{,}1.
Resolva para v^2:
v^2 = 10\times19{,}62/40{,}1 \approx4{,}892, \quad v \approx2{,}21\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcule a vazão volumétrica Q:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0{,}04)^2}{4}\approx1{,}257\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}, \quad Q = A\,v \approx1{,}257\times10^{-3}\times2{,}21\approx2{,}78\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

A vazão entre os reservatórios é
Q \approx 2{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} \quad(\approx2{,}8\\ \mathrm{L/s}).

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