Um giroscópio possui um disco de 0,2 \mathrm{~kg} e raio 5,0 \mathrm{~cm}, girando a 100 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Está montado em um suporte que permite precessão.
a) Descreva qualitativamente o movimento de precessão.
b) Calcule a velocidade de precessão se o centro de massa estiver a 10 cm do ponto de apoio.

Passo 1

O enunciado diz que temos um giroscópio formado por um disco de massa m=0,2\:\mathrm{kg} e raio R=5,0\:\mathrm{cm}, girando com velocidade angular de rotação \omega=100\:\mathrm{rad/s}. O disco está montado num suporte que permite a precessão em torno do ponto de apoio, estando o centro de massa a uma distância l=10\:\mathrm{cm} desse ponto. O conteúdo aqui é torque e precessão de um giroscópio, em que usaremos:
  1. o momento de inércia de um disco sólido,
  2. o momento angular de rotação,
  3. o torque devido ao peso,
  4. a relação \Omega=\tau/L para a velocidade angular de precessão.

Passo 2

Qualitativamente, como o peso mg atua a uma distância l do ponto de apoio, ele gera um torque \vec\tau horizontal, perpendicular ao eixo de rotação. Esse torque não muda o módulo do momento angular \vec L do disco, mas faz com que \vec L varie de direção, deslocando-o lateralmente. O resultado é que o eixo do giroscópio descreve um movimento circular (de precessão) em torno da vertical, mantendo constante seu ângulo de inclinação e girando com velocidade angular \Omega.

Passo 3

O momento de inércia de um disco maciço de raio R é
I = \tfrac{1}{2}mR^2.
Substituindo m=0,2\:\mathrm{kg} e R=0,05\:\mathrm{m},
I = \tfrac{1}{2}\times0,2\times(0,05)^2 = 0,00025\:\mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

O momento angular de rotação em torno do eixo do disco vale
L = I\,\omega = 0,00025\times100 = 0,025\:\mathrm{kg\cdot m^2/s}.

Passo 5

O torque devido ao peso, tomando g=9,8\:\mathrm{m/s^2}, tem módulo
\tau = m\,g\,l = 0,2\times9,8\times0,1 = 0,196\:\mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

A velocidade angular de precessão satisfaz
\Omega = \frac{\tau}{L}
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\Omega = \frac{0,196}{0,025}\approx7,84\:\mathrm{rad/s}.

Resposta

\displaystyle \Omega\approx7{,}8\:\mathrm{rad/s}.

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