Uma esfera de massa
suspensa numa corda, movendo-se com velocidade constante descreve uma trajetoria circular. A corda forma um angulo
com a horizontal.
Qual é a rapidez da esfera em termos das variáveis do problema. ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera de massa $ m $ pendurada numa corda que está se movendo em velocidade constante, descrevendo uma trajetória circular. A corda faz um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a rapidez $ v $ da esfera em termos das variáveis que a gente tem no problema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças em movimento circular uniforme e decomposição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. A esfera está se movendo em um círculo e a corda forma um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Isso significa que a corda tem duas componentes: uma horizontal e outra vertical. A componente vertical da tensão na corda vai equilibrar o peso da esfera, enquanto a componente horizontal vai fornecer a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular.
Passo 3
Vamos chamar a força de tensão na corda de $ T $. A componente vertical dessa tensão é $ T \cos(\theta) $ e deve equilibrar o peso da esfera, que é $ mg $ (onde $ g $ é a aceleração da gravidade). Então, temos:
Dessa equação, podemos isolar $ T $:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a componente horizontal da tensão, que é $ T \sin(\theta) $. Essa componente é a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
onde $ r $ é o raio da trajetória circular.
Passo 5
Igualando a componente horizontal da tensão à força centrípeta, temos:
Substituindo $ T $ pela expressão que encontramos no Passo 3:
Passo 6
Simplificando a equação, o $ m $ se cancela dos dois lados:
Sabemos que $ \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \tan(\theta) $, então:
Passo 7
Resolvendo para $ v $, multiplicamos ambos os lados por $ r $ e depois tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A rapidez da esfera é $ v = \sqrt{r , g , \tan(\theta)} $.