Uma esfera de massa m suspensa numa corda, movendo-se com velocidade constante descreve uma trajetoria circular. A corda forma um angulo theta com a horizontal.
(1,0) Qual é a rapidez da esfera em termos das variáveis do problema. ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera de massa $ m $ pendurada numa corda que está se movendo em velocidade constante, descrevendo uma trajetória circular. A corda faz um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a rapidez $ v $ da esfera em termos das variáveis que a gente tem no problema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças em movimento circular uniforme e decomposição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. A esfera está se movendo em um círculo e a corda forma um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Isso significa que a corda tem duas componentes: uma horizontal e outra vertical. A componente vertical da tensão na corda vai equilibrar o peso da esfera, enquanto a componente horizontal vai fornecer a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular.

Passo 3

Vamos chamar a força de tensão na corda de $ T $. A componente vertical dessa tensão é $ T \cos(\theta) $ e deve equilibrar o peso da esfera, que é $ mg $ (onde $ g $ é a aceleração da gravidade). Então, temos:
T
Dessa equação, podemos isolar $ T $:
T cos(theta)

Passo 4

Agora, vamos olhar para a componente horizontal da tensão, que é $ T \sin(\theta) $. Essa componente é a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
T sin(theta)
onde $ r $ é o raio da trajetória circular.

Passo 5

Igualando a componente horizontal da tensão à força centrípeta, temos:
T sin(theta) = mv^2r
Substituindo $ T $ pela expressão que encontramos no Passo 3:
T

Passo 6

Simplificando a equação, o $ m $ se cancela dos dois lados:
m
Sabemos que $ \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \tan(\theta) $, então:
g sin(theta)cos(theta) = v^2r

Passo 7

Resolvendo para $ v $, multiplicamos ambos os lados por $ r $ e depois tiramos a raiz quadrada:
v
r

Resposta

A rapidez da esfera é $ v = \sqrt{r , g , \tan(\theta)} $.

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