Uma esfera não condutora de raio R possui uma densidade volumétrica de carga dada por rho=5 r^2 C / m^5. Determine a expressão para o campo elétrico para:
r >= R.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma esfera não condutora de raio rho(r) = 5,r^2 (em C/m^5) com densidade volumétrica de carga
PhiE = Qrm intvarepsilon0
A missão é achar o campo elétrico para pontos fora da esfera, ou seja, .
Conteúdo da matéria: Lei de Gauss, densidade de carga volumétrica e integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar montar uma superfície gaussiana esférica, calcular a carga total que fica dentro dela e aplicar

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Gauss:
oint Ecdot dA ;=;Qrm intvarepsilon0
Por simetria esférica, o campo fora da esfera só depende de E(r)=E(r),hat r e oint Ecdot dA=E(r);times 4pi r^2 e é radial. Então, numa superfície esférica de raio , temos

Passo 3

Agora precisamos do Qrm int=integralvolume rho(r),dV , ou seja, toda a carga contida na esfera de raio Qrm int =integral0^R 5,r^2;(4pi r^2),dr =20pi integral0^R r^4,dr . Usamos
Qrm int = 20pi ,R^55 = 4pi,R^5
Em coordenadas esféricas, . Então
Calculemos . Logo

Passo 4

Volta na Lei de Gauss:
E(r);4pi r^2 = Qrm intvarepsilon0 = 4pi,R^5varepsilon0
Logo
E(r) = 4pi,R^54pi,varepsilon0,r^2 = R^5varepsilon0,r^2
E, como sempre, aponta no sentido radial (pra fora se a carga for positiva).

Resposta

boxed% E(r) = R^5varepsilon0,r^2;hat r, r >= R

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