Uma esfera oca condutora de raios 0,600 m (interno) e 0,800 m (externo) é carregada com carga de +9 Q. Em seguida é introduzida uma carga puntiforme +Q no centro da esfera. Se Q=2,56 times 10^-6 C, aplique a lei de Gauss para determinar:
O módulo do campo elétrico em pontos distantes a 1,60 m do seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca condutora com raio interno de 0,600 m e raio externo de 0,800 m, inicialmente carregada com uma carga de $ +9Q $. Depois, adicionamos uma carga puntiforme de $ +Q $ no centro da esfera. A pergunta é para determinar o módulo do campo elétrico em um ponto que está a 1,60 m do centro da esfera usando a Lei de Gauss. Vamos precisar entender os conceitos de campo elétrico, distribuição de carga em condutores e aplicar a Lei de Gauss para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 $). A fórmula é:
varepsilon0
Onde:
  • $ \Phi_E $ é o fluxo elétrico,
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
  • $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície,
  • $ Q_{dentro} $ é a carga total dentro da superfície fechada,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $).

Passo 3

Vamos identificar onde queremos calcular o campo elétrico: a 1,60 m do centro da esfera. Esse ponto está fora da esfera, já que o raio externo é de 0,800 m. Para aplicar a Lei de Gauss, vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica com raio de 1,60 m.

Passo 4

Agora, precisamos determinar a carga total dentro dessa superfície gaussiana. Temos duas cargas:
  1. A carga puntiforme no centro: $ +Q $.
  2. A carga na esfera: inicialmente $ +9Q $, mas como a esfera é condutora e colocamos uma carga $ +Q $ no centro, uma carga induzida de $ -Q $ aparece na superfície interna da esfera, e a carga restante $ +10Q $ fica na superfície externa.
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é $ +Q $ (do centro) mais $ +10Q $ (da superfície externa da esfera), totalizando $ +11Q $.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 Rightarrow E cdot 4pi r^2 = 11Qvarepsilon0
Resolvendo para $ E $:
E
Substituindo os valores conhecidos ($ Q = 2,56 \times 10^{-6} , C $ e $ r = 1,60 , m $):
E = 11Q4pi varepsilon0 r^2

Resposta

Calculando os valores:
E approx 28,16 times 10^-64pi times 8,85 times 10^-12 times 2,56
E approx 28,16 times 10^-62,86 times 10^-10 approx 9,83 times 10^4 , N/C
Portanto, o módulo do campo elétrico a 1,60 m do centro da esfera é aproximadamente $ 9,83 \times 10^{4} , N/C $.

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