Uma esfera oca condutora de raios
(interno) e
(externo) é carregada com carga de
. Em seguida é introduzida uma carga puntiforme
no centro da esfera. Se
, aplique a lei de Gauss para determinar:
O módulo do campo elétrico em pontos distantes a
do seu centro.
O módulo do campo elétrico em pontos distantes a
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e ver quais conceitos precisamos usar. Temos uma esfera oca condutora com raio interno de
e externo de
, carregada com uma carga total de
. Depois, colocamos uma carga pontual
bem no centro dessa esfera. A pergunta é: qual é o módulo do campo elétrico em um ponto que está a
do centro da esfera.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é ótima para calcular campos elétricos com simetria esférica. Precisamos entender como as cargas se distribuem na esfera condutora e como isso afeta o campo elétrico no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a distribuição das cargas. Temos uma carga
no centro da esfera. Como a esfera é condutora e está carregada com
, as cargas se rearranjam para manter a condutividade.
Segundo a Lei de Gauss, dentro de um condutor em equilíbrio, o campo elétrico é zero. Isso significa que a carga
no centro vai induzir uma carga oposta na superfície interna da esfera para cancelar o campo dentro do material condutor.
Então, a carga induzida na superfície interna será
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a carga na superfície externa da esfera. Sabemos que a carga total na esfera é
. Como já temos
na superfície interna, a carga na superfície externa será a diferença:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico a uma distância de
do centro da esfera. Note que
é menor que o raio interno da esfera (
), ou seja, estamos dentro da cavidade oca.
Dentro dessa região, o campo elétrico é determinado apenas pela carga central
, já que as cargas na superfície interna e externa da esfera não influenciam o campo dentro da cavidade.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico devido a uma carga pontual
a uma distância
é dado por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo, aproximadamente . -
-
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 7
Vamos simplificar:
Resposta
O módulo do campo elétrico a
do centro da esfera é aproximadamente
.